多次元のウェーブレットによる多重方向解析と、多次元の波動方程式への応用

令和4年度は、主に以下のように偏微分方程式とウェーブレットおよびラドン変換に関連する研究を行った。◎偏微分方程式について)変数係数に持つ波動タイプの偏微分方程式に対する初期値問題の解の表現公式について、これまでの自身の研究の一般化を試み、部分的な結果をいくつも積み重ねながら研究を続けている。双曲型方程式に対する初期値問題の適切性に関して、ウェーブレット理論を用いて特徴付けした条件を課せて、双曲型方程式に対して考察してきた。 最適な条件が得られるまで試行錯誤しているため再検討の余地がある。◎ウェーブレットについて)正規直交基底は理想的であるが、その構成には強い条件が必要となる。一方、フレームは冗長性があるものの比較的構成しやすいメリットがある。2次元の画像解析では、正規直交基底であるウェーブレットの直積タイプを用いた展開式だけでなく、CurveletやShearletといったパーセヴァルフレームを用いた展開式も利用されている。これまでに構成した角度方向を重視したパーセヴァルフレームのさらなる改良を試み、2次元の画像の再構成に関する数値シミュレーション等も行なってきた。高次元の場合も対応できるように、2次元の場合においてもできるだけ単純化したフレームを得ることを目標としている。また１次元ではあるが、新たな発想の正規直交基底の構成に取り組んで興味深い部分的な結果が得られた。◎ラドン変換について)ラドン変換の像からの再構成に関して研究も進めており、誤差評価に関して最適な空間の設定などを研究した。また、ラドン変換とウェーブレット変換を組み合わせた応用的に意義のあるリッジレット変換の研究も行なった。

令和4年度は、主に以下のように偏微分方程式とウェーブレットおよびラドン変換に関連する研究を行った。◎偏微分方程式について)変数係数に持つ波動タイプの偏微分方程式に対する初期値問題の解の表現公式について、これまでの自身の研究の一般化を試み、部分的な結果をいくつも積み重ねながら研究を続けている。双曲型方程式に対する初期値問題の適切性に関して、ウェーブレット理論を用いて特徴付けした条件を課せて、双曲型方程式に対して考察してきた。 最適な条件が得られるまで試行錯誤しているため再検討の余地がある。◎ウェーブレットについて)正規直交基底は理想的であるが、その構成には強い条件が必要となる。一方、フレームは冗長性があるものの比較的構成しやすいメリットがある。2次元の画像解析では、正規直交基底であるウェーブレットの直積タイプを用いた展開式だけでなく、CurveletやShearletといったパーセヴァルフレームを用いた展開式も利用されている。これまでに構成した角度方向を重視したパーセヴァルフレームのさらなる改良を試み、2次元の画像の再構成に関する数値シミュレーション等も行なってきた。高次元の場合も対応できるように、2次元の場合においてもできるだけ単純化したフレームを得ることを目標としている。また１次元ではあるが、新たな発想の正規直交基底の構成に取り組んで興味深い部分的な結果が得られた。◎ラドン変換について)ラドン変換の像からの再構成に関して研究も進めており、誤差評価に関して最適な空間の設定などを研究した。また、ラドン変換とウェーブレット変換を組み合わせた応用的に意義のあるリッジレット変換の研究も行なった。