Integrability of dynamical systems that exhibit Laurent phenomena and positivity via algebraic entropy

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クラスター代数をはじめとする正値ローラン性をもつ離散力学系に関する研究によって得られた成果を用いて、今年度は感染症数理モデルの一つであるSIR with vaccination modelの可積分離散化について主に研究した。連続モデルの保存量から得られる不変曲線と他の曲線との交叉を用いて離散モデルを導出し、その可積分性を示した。すなわち、この離散モデルは（１）連続モデルと同じ保存量をもち、（２）順方向／逆方向の時間発展がいずれも一意に定まることを示した。（１）は離散力学系の構成法から自然に導かれ、（２）の証明においては、複素多価函数であるLambert W函数が不変曲線のパラメータ表示を与えることが鍵となる。これら（１）、（２）の性質をもつことから、得られた離散モデルは連続モデルの可積分性を保つ離散化、すなわち、可積分離散化であることが結論づけられる。さらに、離散モデルの解は連続モデルと共有する不変曲線のパラメータ表示を与えることを用いて、連続モデルの厳密解を構成した。また、第1種Abel方程式を経由して連続モデルを完全微分方程式として表現し、そのポテンシャルを求めた。さらに、SIR with vaccination modelのパラメータを制限することで得られるSIR modelに対して、不変曲線と交叉する直線の平行移動を用いて、その時間発展を幾何学的に線形化する方法を与えた。SIR modelは、適当な変数変換により、Bernoulli方程式へ帰着でき、さらに線形化できるため、このような幾何学的線形化が自然に得られることは大変興味深い。これらの研究に関連する論文をarXiv上で公開し査読付き論文誌へ投稿した。また、関連する研究発表を4件行った。