On the structure of subgraphs and trees with specified properties in graphs

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グラフの因子問題とは、与えられたグラフに対して、特定の性質をみたす全域部分グラフ（因子）を見つけるという問題である。全域部分グラフとは、与えられたグラフのすべての点と一部の辺からなるグラフのことである。本研究の目的は、次の3点の成果を上げることである。1 グラフ全体でもつ構造がグラフの一部分にもあり得るかを研究し、グラフの全体で知られている性質との関連性を追及していく。2 グラフの木の構造を様々な角度から検証し、その存在定理の解決方法を提示する。3 上記2点の融合を提案し、新たな因子理論研究の方向性を示す。令和4年度は昨年度に引き続き、研究目的2に関する研究を実施した。連結な因子において、最も基本的な概念として知られる、特定の性質をもった木に関する研究は、1975 年、Sein Win によって開始されたが、その研究手法の複雑さから、それ以降、あまり注目されていなかった。しかし、申請者らによる、木に関する近年の結果が発表されると、現在、国内外を問わず、活発に研究される分野へと成長しつつある。本研究は、その成長、発展をさらに推し進めていこうとするものである。しかし、これまでに得られた結果は、連結因子問題全体からみると未だ、特別な場合であり、これも交付希望期間内に一般化したいと考えている。実際、令和4年度では、星K_{1,n+1}というグラフと、もう1種類の特定のグラフを誘導部分グラフとして含まないグラフGにおいて、グラフGに(g,f)-因子が存在するならば、連結(g,f+n-2)-因子が存在することを示した。この結果は更に発展する可能性があり、継続して研究している。