A mathematical study of dimensionality reduction and embedding by theories of delay-coordinate systems and algebraic geometry

本研究では前年度までから引き続き，力学系に従って得られる時系列データから，力学系を再構成する手法を理論的に構成する手法について研究を行った．本課題で提案している遅延座標埋め込みによる力学再構成手法と代数幾何学の消去理論を統合した正規方程式を導出するモデリング手法について研究を行った．正規方程式を縮約して得られるモデルから，モデル復元として本研究で提案しているブローアップ手法を用いた場合に，必ずしも元の式に戻るとは限らない問題がある．その場合の元のモデルと復元で得るモデルとの関係性を調べた．本研究におけるアルゴリズムは，モデリング対象のデータが生成された力学系が，多項式モデルではなく有理式で与えられる場合でも適用可能であり，結果として高次元空間における正規方程式を与える．見かけ上自由度が高くなるが，補助変数を付加したことで次元を拡大した空間でモデリングしていることになっているため，実用上，データ駆動的にモデルを得る場合には注意が必要であることがわかった．さらに，ランダムネットワークと遅延座標系を組み合わせたデータ駆動モデリング手法による時系列予測タスクの性能評価に取り組んだ．これは，力学系の再構成において高い予測精度を達成するネットワーク構造を探索することを目指すものである．予測精度や構成したモデルのリアプノフ指数を元の力学系と比較することで，力学再構成の評価を行い，提案手法の有効性を示すことができた．

本研究では前年度までから引き続き，力学系に従って得られる時系列データから，力学系を再構成する手法を理論的に構成する手法について研究を行った．本課題で提案している遅延座標埋め込みによる力学再構成手法と代数幾何学の消去理論を統合した正規方程式を導出するモデリング手法について研究を行った．正規方程式を縮約して得られるモデルから，モデル復元として本研究で提案しているブローアップ手法を用いた場合に，必ずしも元の式に戻るとは限らない問題がある．その場合の元のモデルと復元で得るモデルとの関係性を調べた．本研究におけるアルゴリズムは，モデリング対象のデータが生成された力学系が，多項式モデルではなく有理式で与えられる場合でも適用可能であり，結果として高次元空間における正規方程式を与える．見かけ上自由度が高くなるが，補助変数を付加したことで次元を拡大した空間でモデリングしていることになっているため，実用上，データ駆動的にモデルを得る場合には注意が必要であることがわかった．さらに，ランダムネットワークと遅延座標系を組み合わせたデータ駆動モデリング手法による時系列予測タスクの性能評価に取り組んだ．これは，力学系の再構成において高い予測精度を達成するネットワーク構造を探索することを目指すものである．予測精度や構成したモデルのリアプノフ指数を元の力学系と比較することで，力学再構成の評価を行い，提案手法の有効性を示すことができた．