ランダム行列の普遍性と２次元流体の統計力学

随机矩阵的普适性和二维流体的统计力学

基本信息

批准号：
20K03764
负责人：
永尾太郎
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03764/
关键词：
ランダム行列普遍性２次元流体

项目摘要

ランダム行列の固有値分布は, 分子間相互作用のある流体の統計力学的分布の例を与えることがある. 標準的な非エルミートランダム行列の固有値は, 複素平面上に分布するため, 対応する流体は２次元平面上にあり, 厳密に物理量を計算できる２次元流体（２次元 Coulomb 気体）の例を与える. 本研究では, ランダム行列の普遍性の理解を深めるとともに, このような２次元流体の統計力学を進展させたい. 最近のランダム行列理論の発展により, 複素平面上で直交する多項式に関係するさらに広いクラスの２次元流体を考えることが可能であるという認識が深まってきた. 標準的な非エルミートランダム行列に対応する２次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）の相関関数は, 直交多項式（または歪直交多項式）によって表される. ただし, この場合の直交多項式は, 実軸上の１次元領域における積分に対してではなく, 複素平面上の２次元領域における２重積分に対して直交する. 古典直交多項式としてよく知られている Gegenbauer 多項式は実軸上で直交するが, より一般的に, 複素平面上の楕円面領域においても直交する. この直交性を用いることにより, 楕円面上の２次元 Coulomb 気体を解析することができる. また, Gegenbauer 多項式の対称性により, 気体は楕円の２つの焦点近傍のいずれにおいても同じように振る舞うことがわかる.　より一般的な Jacobi 多項式の直交性を楕円面領域において示すことができれば, 楕円の２つの焦点近傍においてそれぞれ異なる振る舞いを示す気体が得られるはずである. しかし, それが可能な場合は, 今のところ限定されている. 現時点での研究の主な目標の一つとして, この限定を除去することが挙げられる.

随机矩阵的特征值分布可能提供具有分子间相互作用的流体的统计机械分布的示例。由于标准非热随机矩阵的特征值分布在复杂平面上，因此相应的流体位于二维平面上，我们提供了可以准确计算物理量的二维流体（二维库仑气）的示例。在这项研究中，我们想加深对随机矩阵普遍性的理解，并推进这种二维流体的统计力学。随机矩阵理论的最新发展导致人们更深入地认识到，可以考虑与复杂平面上与多项式正交相关的更广泛的二维流体。在对应于标准非热随机矩阵的二维流体中，特征值（即流体分子的位置）的相关函数是由正交多项式（或失真正交多项式）表达的。但是，在这种情况下，正交多项式与复杂平面上二维区域的双重积分是正交的，而不是真实轴上一维区域的积分。 Gegenbauer多项式，众所周知是经典的正交多项式，在真实轴上是正交的，但在复杂平面上的椭圆形区域中更一般。通过使用这种正交性，可以分析椭球体上的二维库仑气体。此外，由于Gegenbauer多项式的对称性，气体在椭球的两个焦点中的表现相同。如果可以在椭圆形区域显示更通用的雅各比多项式的正交性，则应获得一种气体，该气体在椭圆的两个局灶性效率中表现出不同的行为。但是，如果可能的话，目前受到限制。当前研究的主要目标之一是消除此限制。