ランダム行列の普遍性と２次元流体の統計力学

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ランダム行列の固有値分布は, 分子間相互作用のある流体の統計力学的分布の例を与えることがある. 標準的な非エルミートランダム行列の固有値は, 複素平面上に分布するため, 対応する流体は２次元平面上にあり, 厳密に物理量を計算できる２次元流体（２次元 Coulomb 気体）の例を与える. 本研究では, ランダム行列の普遍性の理解を深めるとともに, このような２次元流体の統計力学を進展させたい. 最近のランダム行列理論の発展により, 複素平面上で直交する多項式に関係するさらに広いクラスの２次元流体を考えることが可能であるという認識が深まってきた. 標準的な非エルミートランダム行列に対応する２次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）の相関関数は, 直交多項式（または歪直交多項式）によって表される. ただし, この場合の直交多項式は, 実軸上の１次元領域における積分に対してではなく, 複素平面上の２次元領域における２重積分に対して直交する. 古典直交多項式としてよく知られている Gegenbauer 多項式は実軸上で直交するが, より一般的に, 複素平面上の楕円面領域においても直交する. この直交性を用いることにより, 楕円面上の２次元 Coulomb 気体を解析することができる. また, Gegenbauer 多項式の対称性により, 気体は楕円の２つの焦点近傍のいずれにおいても同じように振る舞うことがわかる.　より一般的な Jacobi 多項式の直交性を楕円面領域において示すことができれば, 楕円の２つの焦点近傍においてそれぞれ異なる振る舞いを示す気体が得られるはずである. しかし, それが可能な場合は, 今のところ限定されている. 現時点での研究の主な目標の一つとして, この限定を除去することが挙げられる.