非理想ランダム行列と量子グラフのエネルギー準位統計

非理想随机矩阵和量子图的能级统计

基本信息

批准号：
16740224
负责人：
永尾太郎
金额：
$ 2.24万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16740224/
关键词：
ランダム行列半古典量子論準位統計量子グラフ

项目摘要

量子カオス系のエネルギー準位統計の普遍性の起源を明らかにすることを目標に、半古典量子論にもとづいて、周期軌道和の方法による解析を行った。最近、連続力学系に対して、組み合わせ論的な手法を使って周期軌道和を評価することにより、エネルギー準位相関をダイアグラム展開の高次の項まで計算できることが知られるようになった。今年度の研究においては、この新しい方法による解析をさらに進展させることに成功した。すなわち、量子カオス系のエネルギー準位が磁場をパラメータとして連続的に運動する過程が、ランダム行列理論によって統計的に記述されることが確認された。具体的には、エネルギー準位相関の形状因子を半古典的ダイアグラム展開の方法により計算したところ、展開係数がすべてランダム行列理論の予言と一致することが明らかになった。さらに、量子カオス系が普遍性クラスの間を遷移する場合についても同様の解析を行い、ある組み合わせ論的な恒等式を仮定すれば、ランダム行列理論との一致が得られることがわかった。予想されるこの組み合わせ論的な恒等式は、代数学における表現論に関係していることが示唆されるため、その方向への研究を深めていくことが望まれる。また、非理想ランダム行列の振る舞いを明らかにするために、疎行列のレプリカ法にもとづく解析を行った。物理学や数理統計学への応用において重要な標本共分散行列を疎行列化したモデルに対し、有効媒質近似などのいくつかの近似法によって固有値密度を評価して比較を行った。特に、固有値分布の端領域における振る舞いを再現するための補正を行うことに成功した。レプリカ法と有効媒質近似にもとづく方法によれば、より現実的な複雑ネットワークの隣接行列を扱うこともできる。そこで、今回の研究において用いられた手法を適用することにより、ランダム行列理論の応用範囲をさらに広げることが可能になるであろう。

为了阐明量子混沌系统中能级统计的普遍性的起源，使用基于半经典量子理论的周期性轨道总和的方法进行了分析。最近，已经知道，通过使用组合方法评估周期性轨道总和，可以将能级相关性计算到连续动态系统的高阶术语扩展的高阶项。今年的研究成功地使用了这种新方法进一步进步分析。也就是说，已经证实，量子混沌系统的能量水平与磁场连续移动的过程是通过随机矩阵理论统计描述的。具体而言，当使用半经典图扩展方法计算能级相关性的形式因素时，揭示了所有扩展系数与随机矩阵理论的预测一致。此外，对于普遍性类别之间的量子混沌系统过渡的情况，也进行了类似的分析，发现如果假设组合身份，则可以获得与随机矩阵理论的匹配。这种预期的组合身份表明它与代数中的代表性理论有关，因此希望加深我们朝着该方向进行研究。此外，为了阐明非理想的随机矩阵的行为，根据稀疏基质的复制方法进行了分析。通过使用几个近似值（例如有效的培养基近似值）评估特征值密度，比较了一种对物理和数学统计应用非常重要的样品协方差矩阵稀疏矩阵的模型。特别是，已经进行了校正来重现特征值分布边缘区域的行为。基于复制方法和有效培养基近似的方法还可以处理更现实的复杂网络邻接矩阵。因此，通过应用本研究中使用的方法，可以进一步扩大随机矩阵理论的应用范围。

项目成果

期刊论文数量（4）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Spectral density of sparse sample covariance matrices

稀疏样本协方差矩阵的谱密度

DOI：
发表时间：
2007
期刊：
Journal of Physics A 40
影响因子：
0
作者：
H. Maehara;H. Maehara;H. Maehara;H. Maehara;H. Maehara;H. Maehara;Nariyuki Minami;Rowan Killip and Fumihiko Nakano;Fumihiko Nakano;Taro Nagao;Taro Nagao and Toshiyuki Tanaka
通讯作者：
Taro Nagao and Toshiyuki Tanaka

Asymmetric Exclusion Process and Modified Random Matrix Ensembles

非对称排除过程和改进的随机矩阵系综