密度行列のランダム行列理論

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密度行列のランダム行列理論は、外界との相互作用をもつ量子系の解析において有用であると期待され、数学的には、直交多項式に関係したランダム行列アンサンブルと密接な関連をもっている。今年度の研究においては、密度行列のランダム行列理論の動的な拡張を意図して、直交多項式に関係したアンサンブルのブラウン運動モデルの研究を行った。成果として、ブラウン運動するランダム行列の動的な固有値相関の一般的な表式は、四元数行列式の形に書けることがわかった。さらに、対応する直交多項式を用いて四元数行列の要素を単純に表現する方法が発見された。それにより、ランダム行列の次数が大きいときに、それらの要素の漸斤的な振舞を評価することができた。対称性の異なる量子系の準位統計の遷移を普遍的に記述する一般的な表式が初めて得られたことになる。このようにして得られた準位相関の評価方法の応用例として、クォークの質量を考慮に入れた量子色力学の有効理論の準位統計を考え、量子準位と質量の相関関数を導出した。ランダム行列理論の有効性を示すためには、経験的な検証だけでは不十分であり、微視的な正当化ができることが望ましい。密度行列のランダム行列理論を微視的に正当化するときには、量子系の半古典論を用いることになると予想される。規則的な量子系に対する半古典論から、Bootstrapped Density of Statesの方法を用いて、経験的に知られるポアソン型の準位統計を導出することにも成功した。これにより、準位統計の微視的理解の基礎である半古典論への理解も進展させることができた。