Stochastic analysis for phase transition in particle systems with an infinite number of particles

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究課題では、相互作用をもつ無限粒子系の確率微分方程式についての研究を行っている。当該研究期間中に、ブラウン無限剛体球系に対して、確率微分方程式の解の存在と一意性等を示した。剛体球系はハードコア相互作用をもつ系とみなすことができるが、ハードコア相互作用により、配置空間の変更、反射を表す局所時間項の存在、などの問題点が生じる。これらの問題点を連続浸透模型でのクラスターサイズの評価等を用いて解決をした。強化ランダムウォーク (RRW)は、ウォーカーがグラフの各辺に与えられた重みに比例した確率で推移し、ウォーカーが通った辺の重みを増加させるというモデルである。半直線上の線型RRWについては、点x の右の辺の初期重みがx の冪乗で与えられたとき、ウォーカーが再帰的となるための必要十分条件は冪が1以下であることが知られている．分担者である竹居氏は、冪が1の臨界的な場合は、強化が及ぼす影響の度合いが１よりも小さい場合とかなり異なることを示した。今村氏は、可積分確率論(integrable probability)に現れる2つの確率測度，q-Whittaker測度と周期的Schur測度の間の関係について研究を行った。q-Whittaker測度に従う分割μの第一成分μ1がλ1+χの分布と等しいことを明らかにした。ただしλ1は周期的Schur測度に従う分割λの第一成分、χはλと独立なq-幾何分布に従う確率変数である。得られた結果により、KPZモデルという興味深いが解析が難しいモデルを、行列式点過程という、相関関数の構造が明快なモデルを用いて研究できることを示した。