無限粒子系とランダム行列の確率解析

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干渉ブラウン運動のtagged粒子の不変原理に関して、従来より適切かつ精密な定式化を行い、Kipnis-Varadhanの不変原理の対応物が成立することを証明した。従来は、Palm測度に対して、無限個の環境粒子系にたいして、tagged粒子のブラウン運動への収束が「測度収束」の意味で成立するという形で、主張が定式化されてきた。これは、80年代前半に行われたGuo-Papanicolauの研究以来の伝統的な定式化ではあるが、tagged粒子から見た他の無限個の粒子家の挙動を記述する確率微分方程式に対する解析となるため、すぐには元来の問題との関係が分かりにくい。それに対して、今回は、粒子のラベルを考慮し構造に入れることにより、元々の平行移動不変な平衡分布に関して、可逆な確率力学を記述する確率微分方程式を考え、その個々の粒子が、ブラウン運動に初期条件に関して測度収束するという、より自然なわかりやすい定式化となった。また、応用として、1次元の無限粒子系が互いに衝突しない（順序を入れ替えない）という性質をもつとき、極限が常に退化するという結果を得た。この事実自体は、当然の結果だが、ポイントはこれが常に成立するということを、幾何的な結果から平易に示したという一般性を備えている点である。ランダム行列に関係する干渉ブラウン運動は、対数関数（2次元クーロンポテンシャル）で相互作用する確率力学である。また、干渉ブラウン運動を含む広い範囲の無限次元確率微分方程式に対して一般論を構築し、更に発展させている最中だが、これに関する最近の研究結果をまとめてreview論文として報告した。