Fractal geometry, zeta functions associated with fractals, and applications to number theory

分形几何、与分形相关的 zeta 函数以及在数论中的应用

• 批准号: 19J20878
• 负责人: 齋藤 耕太
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J20878/
• 关键词: 等差数列; フラクタル次元; 素数表現定数; 素数表現関数; Millsの定数; カントール集合; ピアテツキーシャピロ列; 不定方程式; セメレディの定理; グリーンタオの定理

本研究は与えられた集合にどのくらい項数の大きい等差数列が存在するかという問題を主題とし、項数の大きい等差数列が存在するような新しい集合のクラスを与えることを目的としている。主な手法は集合の複雑さを実数で表すフラクタル次元を用いている。今年度の研究では等差数列の存在性について進展は得られなかったが、フラクタル幾何学の整数論的な応用例の１つとして研究していた素数表現関数について大きい進展が得られた。研究の具体的内容について述べる。1940年代にMillsは素数を次々に生成する関数について研究を行い、ある二重指数関数の整数部分で無限個の素数が記述できるということを明らかにした。その二重指数関数の底に相当する定数を素数表現定数と呼ぶ。特に、Millsの構成によって得られる最小の素数表現定数をMillsの定数と呼ぶ。このMills定数が無理数であるか有理数であるかは未解決問題である。そこで、本研究で二重指数関数がある条件をみたすとき、素数表現定数の超越性や代数的独立性を明らかにした。さらに、素数表現定数を集めた集合がフラクタル図形であるカントール集合と連続的に移り合う(同相である)ことを明らかにした。ただし、Millsの定数が無理数であるか有理数であるかは未だにわからない。今後の研究課題の1つとしたい。本結果は論文にまとめ、Mathematikaに受理された。その他の活動として研究とは少し離れるが、オンラインで行われた第15回ゼータ若手研究集会の組織委員の代表を務めた。集会のような大規模なものだけではなく、オンラインのゼミを複数中心的に企画・実施した。iPad等の情報機材を積極的に活用し、コロナ禍でも研究者との交流を能動的に行った。

In this study, there is a difference between the number of items in the collection, the number of items, and so on. The collection of primary techniques, the number of copies, the number of variables, the number of copies, the number of variables, the number of variables. In this year's research on the existence of equidifference series, we have obtained a lot of information on how to learn how to study the integer theory. 1. We have made great progress in the study of prime numbers. Study the details of the study. In the 1940s, the number of primes generated by Mills primes was studied, and the integer part of double exponential numbers was recorded as an unlimited number of primes. The number of double exponents is equivalent to that of prime numbers. Special, Mills system to obtain the minimum prime number table shows the fixed number "Mills" fixed number. The Mills fixed number is irrational. The rational number is not solved. The problem is not solved. In this study, double exponential numbers, conditional conditions, and prime numbers show the independence of the algebra of "transcendence". The prime table shows that the number set, set The data is not valid, the Mills number is not rational, the number is rational, and the number is not valid. In the future, we will study the topic 1. This result shows that both the documents and the Mathematika accept the information. To conduct a study on the organization of the assembly by hand, the representatives of the organizing committee of the assembly should conduct a study on the 15th round of the meeting. The assembly will be organized on a large scale, and the planning of the replication center will be implemented. IPad and other informative materials actively engage in the active use of medical materials, such as the active use of information and the active communication of researchers.

项目成果

Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences and Hausdorff dimensions

Piatetski-Shapiro 序列和 Hausdorff 维数中的丢番图方程

• 发表时间: 2021
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

On a new class of sets containing arbitrarily long arithmetic progressions

关于包含任意长算术级数的一类新集合

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太
• 通讯作者: 齋藤耕太

Construction of a one-dimensional set which asymptotically and omnidirectionally contains arithmetic progressions

渐进且全向包含算术级数的一维集合的构造

• DOI: 10.4171/jfg/90
• 发表时间: 2020
• 期刊: Journal of Fractal Geometry
• 影响因子: 0.8
• 作者: Toshiki Matsusaka;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito and Yuuya Yoshida;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Relations between Szemeredi's theorem and fractal dimensions of sets which do not contain (k,ε)-arithmetic progressions

Szemeredi 定理与不包含 (k,ε) 算术级数的集合的分形维数之间的关系

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太;齋藤 耕太;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Piatetski-Shapiro列からなる等差数列の分布について

关于由 Piatetski-Shapiro 序列组成的算术级数的分布

• 发表时间: 2020
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太
• 通讯作者: 齋藤 耕太