Fractal geometry, zeta functions associated with fractals, and applications to number theory

分形几何、与分形相关的 zeta 函数以及在数论中的应用

• 批准号: 19J20878
• 负责人: 齋藤 耕太
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J20878/
• 关键词: 等差数列; フラクタル次元; 素数表現定数; 素数表現関数; Millsの定数; カントール集合; ピアテツキーシャピロ列; 不定方程式; セメレディの定理; グリーンタオの定理

本研究は与えられた集合にどのくらい項数の大きい等差数列が存在するかという問題を主題とし、項数の大きい等差数列が存在するような新しい集合のクラスを与えることを目的としている。主な手法は集合の複雑さを実数で表すフラクタル次元を用いている。今年度の研究では等差数列の存在性について進展は得られなかったが、フラクタル幾何学の整数論的な応用例の１つとして研究していた素数表現関数について大きい進展が得られた。研究の具体的内容について述べる。1940年代にMillsは素数を次々に生成する関数について研究を行い、ある二重指数関数の整数部分で無限個の素数が記述できるということを明らかにした。その二重指数関数の底に相当する定数を素数表現定数と呼ぶ。特に、Millsの構成によって得られる最小の素数表現定数をMillsの定数と呼ぶ。このMills定数が無理数であるか有理数であるかは未解決問題である。そこで、本研究で二重指数関数がある条件をみたすとき、素数表現定数の超越性や代数的独立性を明らかにした。さらに、素数表現定数を集めた集合がフラクタル図形であるカントール集合と連続的に移り合う(同相である)ことを明らかにした。ただし、Millsの定数が無理数であるか有理数であるかは未だにわからない。今後の研究課題の1つとしたい。本結果は論文にまとめ、Mathematikaに受理された。その他の活動として研究とは少し離れるが、オンラインで行われた第15回ゼータ若手研究集会の組織委員の代表を務めた。集会のような大規模なものだけではなく、オンラインのゼミを複数中心的に企画・実施した。iPad等の情報機材を積極的に活用し、コロナ禍でも研究者との交流を能動的に行った。

这项研究旨在给出一个新的类别，其中给定集中有较大的术语差异序列，并提供一个新的类别，其中有大术语相等的差异序列。主要方法使用分形维度，该维度表示集合作为实数的复杂性。尽管今年的研究并未在ISO差异序列的存在方面提供任何进展，但在主要表示函数中取得了巨大进展，这些函数被研究为分形几何形状的整数理论应用之一。研究的具体内容将得到解释。在1940年代，米尔斯研究了一个接一个地生成质数的功能，揭示了可以在单个双重指数函数的整数部分中描述无限数量的质量数。对应于双指数函数底座的常数称为素代表示常数。特别是，磨坊结构获得的最小质子表示常数称为磨坊常数。该工厂常数是不合理还是理性的是一个未解决的问题。因此，在这项研究中，当我们检查存在双重指数函数的条件时，我们已经阐明了主要代表常数的超越和代数独立性。此外，据揭示了一组Prime表示常数与Cantor Set（相时）连续移动，这是分形的图形。但是，尚不清楚米尔斯的常数是不合理的还是有理数的。我想让它成为我未来的研究主题之一。结果被编译成纸张，并被Mathematika接受。尽管这与研究相距甚远，但他还是在网上举行的第15届Zeta Young Research会议的组织者的代表。不仅大规模会议，而且还计划和实施几个在线研讨会。他们积极利用iPad和其他信息设备等信息设备，即使在COVID-19大流行期间，也与研究人员进行了积极互动。

项目成果

On a new class of sets containing arbitrarily long arithmetic progressions

关于包含任意长算术级数的一类新集合

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太
• 通讯作者: 齋藤耕太

Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences and Hausdorff dimensions

Piatetski-Shapiro 序列和 Hausdorff 维数中的丢番图方程

• 发表时间: 2021
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Construction of a one-dimensional set which asymptotically and omnidirectionally contains arithmetic progressions

渐进且全向包含算术级数的一维集合的构造

• DOI: 10.4171/jfg/90
• 发表时间: 2020
• 期刊: Journal of Fractal Geometry
• 影响因子: 0.8
• 作者: Toshiki Matsusaka;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito and Yuuya Yoshida;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Relations between Szemeredi's theorem and fractal dimensions of sets which do not contain (k,ε)-arithmetic progressions

Szemeredi 定理与不包含 (k,ε) 算术级数的集合的分形维数之间的关系

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太;齋藤 耕太;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Distributions of finite sequences represented by polynomials in Piatetski-Shapiro sequences

• DOI: 10.1016/j.jnt.2020.12.004
• 发表时间: 2021-01
• 期刊: Journal of Number Theory
• 影响因子: 0.7
• 作者: Kota Saito;Yuuya Yoshida