Fractal geometry, zeta functions associated with fractals, and applications to number theory

分形几何、与分形相关的 zeta 函数以及在数论中的应用

• 批准号: 19J20878
• 负责人: 齋藤 耕太
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J20878/
• 关键词: 等差数列; フラクタル次元; 素数表現定数; 素数表現関数; Millsの定数; カントール集合; ピアテツキーシャピロ列; 不定方程式; セメレディの定理; グリーンタオの定理

本研究は与えられた集合にどのくらい項数の大きい等差数列が存在するかという問題を主題とし、項数の大きい等差数列が存在するような新しい集合のクラスを与えることを目的としている。主な手法は集合の複雑さを実数で表すフラクタル次元を用いている。今年度の研究では等差数列の存在性について進展は得られなかったが、フラクタル幾何学の整数論的な応用例の１つとして研究していた素数表現関数について大きい進展が得られた。研究の具体的内容について述べる。1940年代にMillsは素数を次々に生成する関数について研究を行い、ある二重指数関数の整数部分で無限個の素数が記述できるということを明らかにした。その二重指数関数の底に相当する定数を素数表現定数と呼ぶ。特に、Millsの構成によって得られる最小の素数表現定数をMillsの定数と呼ぶ。このMills定数が無理数であるか有理数であるかは未解決問題である。そこで、本研究で二重指数関数がある条件をみたすとき、素数表現定数の超越性や代数的独立性を明らかにした。さらに、素数表現定数を集めた集合がフラクタル図形であるカントール集合と連続的に移り合う(同相である)ことを明らかにした。ただし、Millsの定数が無理数であるか有理数であるかは未だにわからない。今後の研究課題の1つとしたい。本結果は論文にまとめ、Mathematikaに受理された。その他の活動として研究とは少し離れるが、オンラインで行われた第15回ゼータ若手研究集会の組織委員の代表を務めた。集会のような大規模なものだけではなく、オンラインのゼミを複数中心的に企画・実施した。iPad等の情報機材を積極的に活用し、コロナ禍でも研究者との交流を能動的に行った。

This study is about the existence of a large number of arithmetical series in a new set. The main method is to set up a set of complex functions. This year's research on the existence of arithmetical series has made great progress in the study of prime number representation. The specific content of the study is described in detail. In the 1940s, Mills 'prime numbers were generated and studied. The integer part of the double exponential number was described as infinite. The base of the double exponential relationship is equivalent to the fixed number of prime numbers. The composition of special, Mills, etc. is determined by the smallest prime number. Mills fixed number In this paper, we study the relationship between the double exponent and the transcendence of the prime number In addition, the prime numbers represent the fixed number set.ただし、Millsの定数が无理数であるか有理数であるかは未だにわからない。Future research topics include: 1. The results of this paper are as follows: The 15th chapter of the organization of the research meeting A large number of meetings are planned and implemented. Active use of information devices such as iPads, research and communication

项目成果

Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences and Hausdorff dimensions

Piatetski-Shapiro 序列和 Hausdorff 维数中的丢番图方程

• 发表时间: 2021
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

On a new class of sets containing arbitrarily long arithmetic progressions

关于包含任意长算术级数的一类新集合

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太
• 通讯作者: 齋藤耕太

Construction of a one-dimensional set which asymptotically and omnidirectionally contains arithmetic progressions

渐进且全向包含算术级数的一维集合的构造

• DOI: 10.4171/jfg/90
• 发表时间: 2020
• 期刊: Journal of Fractal Geometry
• 影响因子: 0.8
• 作者: Toshiki Matsusaka;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito and Yuuya Yoshida;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Relations between Szemeredi's theorem and fractal dimensions of sets which do not contain (k,ε)-arithmetic progressions

Szemeredi 定理与不包含 (k,ε) 算术级数的集合的分形维数之间的关系

• 发表时间: 2019
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤耕太;齋藤 耕太;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Piatetski-Shapiro列からなる等差数列の分布について

关于由 Piatetski-Shapiro 序列组成的算术级数的分布

• 发表时间: 2020
• 作者: Jonathan M Fraser;Kota Saito;Han Yu;Kota Saito;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;齋藤 耕太;Kota Saito;Kota Saito;齋藤 耕太
• 通讯作者: 齋藤 耕太