Study of Galois representations of Kummer-faithful fields and their moduli

2022年度に於いては、クムマー忠実体の分岐理論的特徴づけに関する研究（小関祥康氏との共同研究）をさらに発展させた。先の研究では、代数体K上の半アーベル多様体Aの等分点の群A[p^m]を（Aと素数pを動かしつつ）基礎体Kに添加した拡大のクムマー忠実性を証明したが、新しい研究では、さらに大きい拡大として、Mordell-Weil群A(K)のp^m倍写像による逆像を添加した体のクムマー忠実性を証明した（論文未発表）。さらに、この様な体上のMordell-Weil群は興味深い性質を持つ事も判明した。即ち、それを捻れ部分群で割った商は、無限階数（Qとテンソルしたものが無限次元）であり、可除部分群が自明であるが、自由アーベル群ではない。この様な性質を有する「ほどほどに大きい代数体」の例が発見されたのは初めてではないかと思われる。さらに我々は、博士課程の学生である浅山拓哉氏と共同で、これらの結果の函数体類似を追求した。それは或る意味（クムマー忠実性の類似としての）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念にも通じる考察である。その過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に至った。これについて、或る程度の成果は得られており、例えば一つのドリンフェルト加群のP冪等分点（その冪は有限）の座標を、Pを全ての素イデアルに亘って動かして添加して得られる拡大体上のモーデル=ヴェイユ群の可徐部分は自明である。この結果は浅山氏により論文に纏められ、雑誌に投稿された。さらに、函数体の文脈では、Jardenらにより考察された様な、Kの分離閉包の、幾つかの自己同型で生成される正規部分群による固定部分体のクムマー忠実性を考察した。この文脈に於いては決定論的な結果は得られないが、確率論的な結果（ガロア群の直積の中の測度0の部分集合を除き成立する結果）が得られている。

2022年度に於いては、クムマー忠実体の分岐理論的特徴づけに関する研究（小関祥康氏との共同研究）をさらに発展させた。先の研究では、代数体K上の半アーベル多様体Aの等分点の群A[p^m]を（Aと素数pを動かしつつ）基礎体Kに添加した拡大のクムマー忠実性を証明したが、新しい研究では、さらに大きい拡大として、Mordell-Weil群A(K)のp^m倍写像による逆像を添加した体のクムマー忠実性を証明した（論文未発表）。さらに、この様な体上のMordell-Weil群は興味深い性質を持つ事も判明した。即ち、それを捻れ部分群で割った商は、無限階数（Qとテンソルしたものが無限次元）であり、可除部分群が自明であるが、自由アーベル群ではない。この様な性質を有する「ほどほどに大きい代数体」の例が発見されたのは初めてではないかと思われる。さらに我々は、博士課程の学生である浅山拓哉氏と共同で、これらの結果の函数体類似を追求した。それは或る意味（クムマー忠実性の類似としての）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念にも通じる考察である。その過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に至った。これについて、或る程度の成果は得られており、例えば一つのドリンフェルト加群のP冪等分点（その冪は有限）の座標を、Pを全ての素イデアルに亘って動かして添加して得られる拡大体上のモーデル=ヴェイユ群の可徐部分は自明である。この結果は浅山氏により論文に纏められ、雑誌に投稿された。さらに、函数体の文脈では、Jardenらにより考察された様な、Kの分離閉包の、幾つかの自己同型で生成される正規部分群による固定部分体のクムマー忠実性を考察した。この文脈に於いては決定論的な結果は得られないが、確率論的な結果（ガロア群の直積の中の測度0の部分集合を除き成立する結果）が得られている。