有限群の表現空間と指標を用いた群の構造の研究

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本研究課題では表現空間や指標を用いて、有限群の共役類と既約指標の関係、また表現空間内に構成される組合せ構造の研究およびそれを用いた有限群の構造の研究を行うことを目的としている。特に、共役類の元の個数と既約指標の次数に関する原田予想、原田予想と交換子群の位数の関係に関する予想、また付随した不等式に関する予想およびそれから派生する諸問題について研究を行うことで有限群の持つ新たな性質を発見することが本か題の目的である。本年度は前年度に引き続き原田予想についての研究を中心に行った。特に上述の不等式の評価について、群環においての性質を調べることで予想の式を扱いやすい形に変形することができた。不等式が成立するという予想は一般の群で成立していると思われる。また、指標表から作られる行列の形について交換子群が群自身と異なる場合に、きれいな分割ができることを示した。交換子群が群全体と一致しない場合には、個々の分割の性質を調べることで予想の解決につながるのではないかと期待できる。また、p群についてはstemと呼ばれる性質を持つ群について調べればよいことがわかっているが、stemの構造にさらに制限をつけると部分的に原田予想を解決できることがわかった。これをさらに一般化してp群に関する予想を解決する手がかりを見つけたい。また上述の不等式の研究や指標表から得られる行列の性質の研究は互いに密接に関係している。本年度の研究により今後の研究に役に立つ有益な情報が得られたと考える。