Differential geometric structures on smooth manifolds and Gromov-Hausdorff convergences

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2022年度は、リーマン多様体の間の写像に対して定義される種々のエネルギーに対して、それを最小化する写像のクラスを新たに定義した。HarveyとLawsonは1989年に、カラビ・ヤウ多様体、G2多様体、Spin(7)多様体において、ホモロジー類の中で体積を最小化する部分多様体のクラスを導入し、それらを一般的な状況でキャリブレートされた部分多様体と名付けた。研究代表者は、彼らの概念を滑らかな写像に対して拡張することを試みて、「キャリブレートされた写像」という概念を新たに定式化した。まず向き付け可能な多様体Xと多様体Yを用意し、さらにX上のエネルギー密度σが与えられている状況を考える。これらの直積多様体上の閉微分形式φに対して、σキャリブレーションという条件を定式化し、さらに(σ,φ)-キャリブレートされた写像という概念を定義した。そして、XからYへの写像fが(σ,φ)-キャリブレートされた写像であるとき、fはσが誘導するエネルギーをホモトピー類の中で最小化することを証明した。また研究代表者が、この新たな概念がHarvey-Lawsonの意味でのキャリブレートされた部分多様体の概念を包含することを証明した。また、(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例として、ケーラー多様体間の正則写像と、カラビ・ヤウ多様体からその半分次元の多様体への写像で、正則値の逆像が特殊ラグランジュ部分多様体となるようなものが該当することを証明した。後者は特殊ラグランジュファイブレーションと呼ばれる、カラビ・ヤウ多様体の幾何学における重要な概念である。このように(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例は、多様体上に特殊な幾何構造が入る場合に良い具体例が発生することが判明した。