ゲージ理論からの無限次元力学系とホモトピー論による低次元多様体の不変量

本研究ではSeiberg-Witten Floer 安定ホモトピー型という３次元多様体の不変量を研究した。この不変量は第一 Betti数が0の場合にManolescuによって定義された。Seiberg-Witten方程式が定義する力学系に対して, Conleyの指数理論を適用することで定義される。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型はCW複体の安定ホモトピー型として定義され、そのホモロジーをとると， Seiberg-Witten Floerホモロジーが再現される。Bauer-Furuta不変量と呼ばれる４次元多様体の不変量の計算、境界付き４次元多様体のトポロジー、ホモロジー３球面のホモロジー同境群などへの興味深い応用が知られている。第一Betti数が正の場合に、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を定義するれば、より多くの応用を得られることが期待できる。しかし、第一Betti数が正の場合に定義するには、本質的な困難があった。Kronheimer-Manolsescuによる先駆的な研究があったが、厳密に定義するには至っていなかった。本研究では、第一Betti数が正の場合にSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を確立することを研究し、２つのバージョンを定義することに成功した。さらに、境界付き４次元多様体のトポロジーに関するいくつかの応用を得ることができた。本研究はミシガン州立大学のStoffregenとの共同研究として行なった。

本研究ではSeiberg-Witten Floer 安定ホモトピー型という３次元多様体の不変量を研究した。この不変量は第一 Betti数が0の場合にManolescuによって定義された。Seiberg-Witten方程式が定義する力学系に対して, Conleyの指数理論を適用することで定義される。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型はCW複体の安定ホモトピー型として定義され、そのホモロジーをとると， Seiberg-Witten Floerホモロジーが再現される。Bauer-Furuta不変量と呼ばれる４次元多様体の不変量の計算、境界付き４次元多様体のトポロジー、ホモロジー３球面のホモロジー同境群などへの興味深い応用が知られている。第一Betti数が正の場合に、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を定義するれば、より多くの応用を得られることが期待できる。しかし、第一Betti数が正の場合に定義するには、本質的な困難があった。Kronheimer-Manolsescuによる先駆的な研究があったが、厳密に定義するには至っていなかった。本研究では、第一Betti数が正の場合にSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を確立することを研究し、２つのバージョンを定義することに成功した。さらに、境界付き４次元多様体のトポロジーに関するいくつかの応用を得ることができた。本研究はミシガン州立大学のStoffregenとの共同研究として行なった。