旗多様体上の完全可積分系の幾何学とクラスター代数

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A型（特殊線型群）の旗多様体のミラー対称性について、特に、特殊線型群の表現論（旗多様体上の複素幾何）とミラー多様体のLagrange部分多様体に対するFloer理論（シンプレクティック幾何）との関係について研究している。Strominger-Yau-Zaslowによるミラー対称性の描像では、ミラー対は双対Lagrangeトーラスファイブレーションの構造を持ち、旗多様体上の正則直線束がミラー側のトーラスファイブレーションのLagrange切断に対応する。これより、正則直線束のコホモロジーがLagrange切断のFloerホモロジーと同型になるはずである。Borel-Wiel理論により、特殊線型群の既約表現はすべて直線束のコホモロジーとして実現できるため、ミラー側で対応するFloerホモロジーの表現論的性質を調べることは自然な問題である。本研究では、Lusztig、Berenstein-Zelevinsky らにより導入された表現の“標準基底”と、ミラー側のLagrange切断の交点たちが与えるFloerホモロジーの“標準的”な基底の関係について調べている。2022年度は、複素3次元の旗多様体の場合（すなわち、3次特殊線型群の場合）に直線束のコホモロジーの“標準基底”がミラー側のLagrange切断の交点と対応すること、さらに直線束の正則切断の積構造がミラー側のFloerホモロジーの積構造と対応することを、一部の技術的な問題を除いて確認した。これを厳密な証明にするためには、角付き多様体上でFloer理論を行う際に生じるいくつかの問題を解決する必要がある。これが2023年度の目標となる。