位相的ラドン変換の超局所解析と特異点理論への応用

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構成可能関数のラドン変換は，位相的オイラー数を測度にもつ積分論における，代数的な背景をもつ関数の，幾何学的な積分変換である．本研究では，これまで主にコンパクトグラスマン多様体間で行われてきたこの積分変換について，扱う多様体や関数のクラスを一般化し，さまざまな位相的ラドン変換について，特に反転公式と像の特徴づけを中心に考察を行う．また，これらの位相的積分変換のさまざまな応用についても研究を行う．2022年度は，特に2021年度に得られた知見を元に，双複素超関数の研究，制約付き合成数の分布の漸近公式の証明の改良について研究を行った．まず，構成可能関数のラドン変換の研究について説明する．従来の研究課題であるアフィングラスマン多様体や旗多様体における積分変換において直接的に新たな知見は得られなかったが，2022年度は，新たな方向性への模索として進めていた双複素数環上の解析学や幾何学について研究を行い結果を得た．従来から知られていた双複素正則関数の局所的性質の証明に誤りがあることがわかり，2022年度はその見直しを行った．また，2021年度から理論的な整備を進めていた双複素超関数について，関手的な扱いによる再定式化を行った．一方，双複素グラスマン多様体における積分変換の研究における進展はなかった．次に，定義可能関数の位相的ラドン変換の研究について説明する．本研究では先行研究で取り扱えない部分の解決を目指して，定義可能関数の積分理論の見直しを行っている．2022年度は，従来の研究課題である積分理論の見直しについて新たな知見は得られなかったが，2021年度に共同研究により得られた制約付き合成数の分布関数の漸近公式について，証明の改良を行い，多くの場合について誤差評価付きで漸近式を得た．今後は，従来の研究課題および現在進展中の課題について，引き続き研究を行う．