社会性昆虫の巣造りに対する数理モデル－多因子走性系に発現する対称性崩壊－

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J. L. Deneubourg (1977)が提案した３因子走性系は，社会性昆虫であるシロアリの営巣過程に関する方程式で，シロアリの密度，堆積物質の密度，化学物質の濃度に関する3本の方程式からなる反応拡散移流系です．特に堆積物質は拡散しないため，数学的には部分散逸性を有する系に分類されます．今年度は空間次元が１および２の場合を取り扱い，Deneubourg系の解の時間大域存在性を研究しました．特に空間次元が２の場合は，これまでの類似の方程式からの類推で解の爆発を見込んでおり，初期関数の L^1-ノルムに関するスモールネス条件下にてこれを示しています．一方，解のパターン形成についても，定数定常解の空間対称性崩壊という視点から研究を行いました．定数定常解周りの線形化作用素に対する固有値が正の実部を有するための条件を求め，その条件下で数値シミュレーションを行ったところ，例えば正方形領域では試した限り全て解が爆発し，細長い領域では狙ったフーリエモードを有する定常解を捉えることができました．領域に依存するこの解の時間大域存在性と爆発の問題については，引き続き継続して研究を行います．Deneubourg系は部分散逸を有するため，対応する因子に平滑化効果がない，すなわち解作用素がコンパクト性を有しません．本研究ではこの困難に対して，解作用素の成分で堆積物質に対応する部分が，残り成分が示すコンパクト作用素の摂動とみなせることを示して，有限次元コンパクトアトラクターも構成しています．