内部モデルとブール値高階論理・Ω論理

平成27年度の研究では、昨年度の研究実績報告書で述べた、Ω論理を用いて得られる集合論のモデル M の性質について調べた。昨年度の研究報告書では、「今後の研究推進方策」として、上記モデル M の性質について４つの問いを立てた。今年度の研究では、４つの問いについて考えるうえで、以下の予想が成り立つかどうかが重要であることが分かった：予想；ウディン基数が非有界に存在し、実数をパラメータにするΩ予想が任意の順序集合による強制拡大で成り立っているとする。このとき、モデル M は、以下の方法によって得られる：「V の充分大きなウディン基数たちの極限において Derived model と呼ばれる AD のモデル N を構成すると、その N における HOD において、κ = (N 内のω_1) は可測基数になり、それを witness する自然な超フィルター U が存在する。このとき、N における HOD の V_κ に対して、U を用いて超冪を取る操作を Ord 回繰り返すと、モデル M が得られる。」本研究では、上記予想が成り立つとすると、上記４つの問いについて、以下の a)～d) が成り立つことがわかった：a) M において、弱い condensation principle が成り立つ。b) M 内では、任意の可算でない基数κに対して、◇_κ と □_κ が成り立つ。c) M 内に可測基数は存在しない。d) M と V の間に weak covering property は成り立たない。上記予想が成り立つかどうかはわかっておらず、現在はこれを調べている。

平成27年度の研究では、昨年度の研究実績報告書で述べた、Ω論理を用いて得られる集合論のモデル M の性質について調べた。昨年度の研究報告書では、「今後の研究推進方策」として、上記モデル M の性質について４つの問いを立てた。今年度の研究では、４つの問いについて考えるうえで、以下の予想が成り立つかどうかが重要であることが分かった：予想；ウディン基数が非有界に存在し、実数をパラメータにするΩ予想が任意の順序集合による強制拡大で成り立っているとする。このとき、モデル M は、以下の方法によって得られる：「V の充分大きなウディン基数たちの極限において Derived model と呼ばれる AD のモデル N を構成すると、その N における HOD において、κ = (N 内のω_1) は可測基数になり、それを witness する自然な超フィルター U が存在する。このとき、N における HOD の V_κ に対して、U を用いて超冪を取る操作を Ord 回繰り返すと、モデル M が得られる。」本研究では、上記予想が成り立つとすると、上記４つの問いについて、以下の a)～d) が成り立つことがわかった：a) M において、弱い condensation principle が成り立つ。b) M 内では、任意の可算でない基数κに対して、◇_κ と □_κ が成り立つ。c) M 内に可測基数は存在しない。d) M と V の間に weak covering property は成り立たない。上記予想が成り立つかどうかはわかっておらず、現在はこれを調べている。