Functional Renormalisation Group and Gauge Symmetry

運動量切断を導入した経路積分から，場の理論の構成を行うのが汎関数くりこみ群（あるいは厳密くりこみ群）の手法である．ところが，この手法では，自然界における基本的な対称性であるゲージ対称性の扱いが難しくなる．運動量切断のもたらす非局所性が，局所的な対称性であるゲージ対称性と相性が良くないためである．実は，汎関数くりこみ群におけるゲージ対称性は変形を受けながら維持される．変形されたゲージ対称性の存在は，量子マスター方程式の成立によって保証される．従って，我々の課題は，汎関数くりこみ群のフロー（流れ）方程式と量子マスター方程式を同時に満たす作用を構成することとなる．この課題は，摂動論の範囲で，解明することができた（Yang-Mills理論について 2019年に伊藤・五十嵐・モリスで書いた論文，および2021年に伊藤・五十嵐で４体フェルミ相互作用を含むQEDに関する論文）．このときの作用の構成において，量子マスター方程式の持つ代数的構造が強力な道具となった．2022年度はこれらの仕事を非摂動的な議論に拡張する可能性を検討するため，我々が扱って来た４体フェルミ相互作用を含むQEDの系について考察した．2021年の論文で量子補正を入れた作用について量子マスター方程式の成立を摂動的に証明した．このときに用いた代数的関係式が，ゲージ場の２点関数のついての高次補正があっても成立することを理解したのが2022年度の成果である．これは，ゲージ場の２点関数に関する限り，非摂動的効果を取り込んだ数値計算に意味付けを与えるものである．この点についての理解の深化があり，2022年度に用意していた論文の改訂作業を現在行なっている．．

運動量切断を導入した経路積分から，場の理論の構成を行うのが汎関数くりこみ群（あるいは厳密くりこみ群）の手法である．ところが，この手法では，自然界における基本的な対称性であるゲージ対称性の扱いが難しくなる．運動量切断のもたらす非局所性が，局所的な対称性であるゲージ対称性と相性が良くないためである．実は，汎関数くりこみ群におけるゲージ対称性は変形を受けながら維持される．変形されたゲージ対称性の存在は，量子マスター方程式の成立によって保証される．従って，我々の課題は，汎関数くりこみ群のフロー（流れ）方程式と量子マスター方程式を同時に満たす作用を構成することとなる．この課題は，摂動論の範囲で，解明することができた（Yang-Mills理論について 2019年に伊藤・五十嵐・モリスで書いた論文，および2021年に伊藤・五十嵐で４体フェルミ相互作用を含むQEDに関する論文）．このときの作用の構成において，量子マスター方程式の持つ代数的構造が強力な道具となった．2022年度はこれらの仕事を非摂動的な議論に拡張する可能性を検討するため，我々が扱って来た４体フェルミ相互作用を含むQEDの系について考察した．2021年の論文で量子補正を入れた作用について量子マスター方程式の成立を摂動的に証明した．このときに用いた代数的関係式が，ゲージ場の２点関数のついての高次補正があっても成立することを理解したのが2022年度の成果である．これは，ゲージ場の２点関数に関する限り，非摂動的効果を取り込んだ数値計算に意味付けを与えるものである．この点についての理解の深化があり，2022年度に用意していた論文の改訂作業を現在行なっている．．