Variational problems and geometric analysis for hypersurfaces with singular points, and novel development of discrete surface theory

奇点超曲面的变分问题和几何分析以及离散曲面理论的新发展

• 批准号: 20H01801
• 负责人: 小磯 深幸
• 金额: $ 11.15万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01801/
• 关键词: 変分問題; 可展面; 区分的に滑らかな曲面; エネルギー勾配流方程式; 離散曲面; ピローボックス; 測地円; ガウス曲率; 曲面の特異点; 等長変形; ピロー型ボックス; 非等方的エネルギー; 自由境界問題; 幾何解析; 離散幾何; ウルフ図形; 平均曲率; エネルギー極小解; ローレンツ・ミンコフスキー空間; 区分的に滑らかな超曲面

本研究の主たる研究対象はユークリッド空間内の区分的に滑らかな曲面（piecewise smooth surface. 以下ではPWS曲面と呼ぶ）及びその一般次元版である。PWS曲面とは、いくつかの滑らかな曲面を連続的に繋いだものであり、各点の近傍として円板がとれるようなものである。本研究では、PWS曲面について、特に、頂点や辺上の点のような特異点での曲がり具合などの幾何概念の整備及び変分法構築を主課題としている。2021年度に、PWS曲面についての変分問題の例として、ピローボックスと呼ばれるPWS閉可展面の体積についての変分問題を研究し、「与えられた二重長方形と等長なピローボックス」の体積に関する平衡曲面の一意存在、解の体積最大性、解の楕円積分を用いた表示式を得た。2022年度は、平面からピローボックスに至る自然な連続等長変形（伸び縮みせずに連続的に変形すること）を具体的に構成した。また、滑らかな曲面S上の各点Pを中心とする半径rの測地円の長さL(r)のrについての級数展開の公式であるBertrand-Puiseuxの定理を、PWS曲面に対して一般化した。Bertrand-Puiseuxの定理では、L(r)の0次の項は0，1次の項の係数は2πr，2次の項は0，3次の項の係数は-2πKである。ここで、Kは点Pにおける曲面Sのガウス曲率である。本研究で得た公式から、PWS曲面の特異点（頂点や辺）を定義し、L(r)の0次の項により「頂点の尖り具合」、2次の項の係数により「辺の尖り具合」、3次の項の係数により「曲面の曲がり具合（ガウス曲率K）」を定義した。なお、PWS曲面が可展面であることは，辺上では「尖り具合も曲がり具合も0」と言い表せ、これは、折り紙工学等で広く知られている可展面となるための必要条件である「各点のまわりでの角の和が2π」の一般化・精密化を与える。

The main subject of this study is the たる research object of <s:1> differentiated に smooth ら な な surface (piecewise smooth surface) in the ユ ユ <s:1> リッド リッド リッド space. The following で で PWS surface と call ぶ) and びそ <s:1> general dimensional version である. PWS surface と は, い く つ か の slide ら か な surface を even 続 に 繋 い だ も の で あ り の nearly at various points, alongside と し て has drifted back towards &yen; plate が と れ る よ う な も の で あ る. This study で は, PWS surface に つ い て, に, vertex や 辺 の の point on よ う な specific point で の qu が り with close な ど の geometry concept の servicing and び - points method to construct を main topics と し て い る. 2021 annual に, PWS surface に つ い て の matter - points の と し て, ピ ロ ー ボ ッ ク ス と shout ば れ る の PWS closed surface volume に つ い て の - を research し, "with え ら れ た double rectangle と isometric な ピ ロ ー ボ ッ ク ス" の volume に masato す る equilibrium is の a surface meaning, largest の solution, solution の 楕 を has drifted back towards &yen; integral The expression た gives た to を. 2022 annual は, plane か ら ピ ロ ー ボ ッ ク ス に to る natural な even 続 isometric - shape (stretch び shrinkage み せ ず に even 続 に - shaped す る こ と) を specific に constitute し た. ま た, smooth ら か な の each point on the surface of S P を center と す る radius r の geodesic has drifted back towards &yen; の long さ L (r) の r に つ い て の series expansion formula の で あ る Bertrand - Puiseux を の theorem, PWS surface に し seaborne て generalization し た. Bertrand - Puiseux の theorem で は, L (r) の zero paragraphs の は 0, 1 time の の coefficient は two PI r, two paragraphs の は 0, 3 times の は - 2 PI の coefficient K で あ る. The curvature of the surface S ガウス at point K で and point Pにおける である. This study で have た formula か ら, PWS surface の specific points (vertices や 辺) を definition し, L (r) の zero の item に よ り vertex の pointed り "close", two の の coefficient に よ り "辺 の pointed り with close", three の の coefficient に よ り "surface の qu が り with us (ガ ウ ス curvature K)" を definition し た. な お, PWS surface が developable surface で あ る こ と は, 辺 on で は "pointed り with も qu が り with close も 0" い と words table せ, こ れ は, folding り ZhiGong etc で hiroo く know ら れ て い る developable surface と な る た め の necessary で あ る "each point の ま わ り で の の and が 2 PI" の general motors を and え る.

项目成果

Heinz-type mean curvature estimates in Lorentz-Minkowski space

Lorentz-Minkowski 空间中的 Heinz 型平均曲率估计

• DOI: 10.1007/s13163-020-00373-9
• 发表时间: 2020
• 期刊: Revista Matematica Complutense
• 影响因子: 0.8
• 作者: Honda Atsufumi;Kawakami Yu;Koiso Miyuki;Tori Syunsuke
• 通讯作者: Tori Syunsuke

Stable anisotropic capillary hypersurfaces in a wedge

• DOI: 10.3934/mine.2023029
• 发表时间: 2022
• 期刊: Mathematics in Engineering
• 影响因子: 1
• 作者: Miyuki Koiso

区分的に連続な曲線と曲面の幾何

分段连续曲线和曲面的几何

• 发表时间: 2021
• 作者: Watanabe Ryohei;Higashi Shinji;Nonaka Takashi;Kawakami Ito;Oshima Kenichi;Niizato Kazuhiro;Akiyama Haruhiko;Yoshida Mari;Hasegawa Masato;Arai Tetsuaki;小磯深幸，奥田健斗
• 通讯作者: 小磯深幸，奥田健斗

区分的に滑らかな非等方的平均曲率一定超曲面の不安定性について

分段光滑各向异性常平均曲率超曲面的不稳定性

• 发表时间: 2020
• 作者: Yamada Y;Shinkawa K;Kosugi A;Kobayashi M;Takagi H; Neomoto M;Nemoto K;Arai T;川村教一;Hiroki Takahasi;小磯深幸，奥田健斗;Masaki Izumi;原岡喜重;Yutaka Ishii and Tatsuya Oka;川村教一・澤口 隆・森永速男・吉本直弘;軸丸芳揮，小磯深幸
• 通讯作者: 軸丸芳揮，小磯深幸

Geometry of anisotropic double crystals

各向异性双晶的几何形状

• DOI: 10.14495/jsiaml.15.13
• 发表时间: 2023
• 期刊: JSIAM Letters
• 影响因子: 0.4
• 作者: Ide Ryotaro;Ota Miho;Hada Yasushi;Watanabe Serina;Takahashi Takumi;Tamura Masashi;Nemoto Kiyotaka;Arai Tetsuaki;吉澤寛之・松下光次郎・笹竹佑太・吉田琢哉・浅野良輔;平尾健二・後藤栄太・松原朱里;Eriko Shinkawa and Miyuki Koiso
• 通讯作者: Eriko Shinkawa and Miyuki Koiso