Variational problems and geometric analysis for hypersurfaces with singular points, and novel development of discrete surface theory

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本研究の主たる研究対象はユークリッド空間内の区分的に滑らかな曲面（piecewise smooth surface. 以下ではPWS曲面と呼ぶ）及びその一般次元版である。PWS曲面とは、いくつかの滑らかな曲面を連続的に繋いだものであり、各点の近傍として円板がとれるようなものである。本研究では、PWS曲面について、特に、頂点や辺上の点のような特異点での曲がり具合などの幾何概念の整備及び変分法構築を主課題としている。2021年度に、PWS曲面についての変分問題の例として、ピローボックスと呼ばれるPWS閉可展面の体積についての変分問題を研究し、「与えられた二重長方形と等長なピローボックス」の体積に関する平衡曲面の一意存在、解の体積最大性、解の楕円積分を用いた表示式を得た。2022年度は、平面からピローボックスに至る自然な連続等長変形（伸び縮みせずに連続的に変形すること）を具体的に構成した。また、滑らかな曲面S上の各点Pを中心とする半径rの測地円の長さL(r)のrについての級数展開の公式であるBertrand-Puiseuxの定理を、PWS曲面に対して一般化した。Bertrand-Puiseuxの定理では、L(r)の0次の項は0，1次の項の係数は2πr，2次の項は0，3次の項の係数は-2πKである。ここで、Kは点Pにおける曲面Sのガウス曲率である。本研究で得た公式から、PWS曲面の特異点（頂点や辺）を定義し、L(r)の0次の項により「頂点の尖り具合」、2次の項の係数により「辺の尖り具合」、3次の項の係数により「曲面の曲がり具合（ガウス曲率K）」を定義した。なお、PWS曲面が可展面であることは，辺上では「尖り具合も曲がり具合も0」と言い表せ、これは、折り紙工学等で広く知られている可展面となるための必要条件である「各点のまわりでの角の和が2π」の一般化・精密化を与える。