K-theoretic enumerative invariants and q-difference equations

K 理论枚举不变量和 q 差分方程

• 批准号: 19F19802
• 负责人: MILANOV Todor
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-11-08 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19F19802/
• 关键词: quantum K-theory; q-difference equations; quantum cohomology

We got two interesting results. The first one is related to the problem of confluence in the theory of q-difference equations. Namely, we proved that the small K-theoretic J-functions of a smooth projectve variety with non-negative first Chern class has a limit as q->1 and this limit coincides with the small cohomological J-function. Here, non-negative first Chern class means that the natural pairing of the 1st Chern class of the tangent bundle and the homology class of an irreducible curve is a non-negative number. The limit is taken after rescaling each Novikov variable in the K-theoretic J-function by an appropriate power of q-1.Moreover, we expect that our argument can be generalized so one can prove the confluence of the big J-function and the confluence of the quantum q-difference equations. It is also expected that the positivity condition of the 1st Chern class is redundant but removing this condition seems to be a challenging problem. Our second result is in the settings of toric geometry. We were able to identify explicitly the small J-function of a Fano toric manifold of Picard rank 2 with a certain q-oscillatory integral. The latter was introduced by Givental in order to provide a solution of the quantum q-difference equations and it can be viewed as a first step towards constructing or fomrulating mirror symmetry in quantum K-theory.

我们得到了两个有趣的结果。第一个问题与Q-差分方程论中的合流问题有关。也就是说，我们证明了具有非负第一类的光滑射影簇的小K-理论J-函数有一个极限Q-&gt；1，并且这个极限与小上同调J-函数重合。这里，非负的第一个陈氏类是指切丛的第一个陈氏类与不可约曲线的同调类的自然对是非负数。将K-理论J-函数中的每个Novikov变量按适当的q-1次方重新标度后，取此极限。此外，我们期望我们的论点可以被推广，从而证明大J-函数的合流和量子Q-差分方程的合流。也可以预期，第一个陈类的正性条件是多余的，但消除这个条件似乎是一个具有挑战性的问题。我们的第二个结果是在环面几何的设置中。我们用一个q-振荡积分显式地证明了Picard秩为2的Fano环面流形的小J-函数。后者是由Givental提出的，目的是提供量子Q-差分方程组的解，它可以看作是在量子K理论中构造或形成镜像对称性的第一步。

项目成果

q-oscillatory integrals in quantum K-theory

量子 K 理论中的 q 振荡积分

• 发表时间: 2022
• 作者: Emmanuel Pacia HERNANDEZ;Hayato KAWADA;Daisuke S. YAMAMOTO;Hirotomo Kato;Makoto MATSUBAYASHI;Tetsuya TANAKA;Naotoshi TSUJI;Takeshi HATTA;コフィ コフィ，エマニュエル ヘルナンデス，サミュエル ダジ，ダニエル ラゼクポ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，岩永史朗，辻 尚利，八田岳士．;エマニュエル ヘルナンデス，コフィ コフィ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，辻 尚利，田仲哲也，八田岳士．;Alexis Roquefeuil
• 通讯作者: Alexis Roquefeuil

Confluence for the K-theoretic J-function

K 理论 J 函数的汇合

• 发表时间: 2021
• 作者: Emmanuel Pacia HERNANDEZ;Hayato KAWADA;Daisuke S. YAMAMOTO;Hirotomo Kato;Makoto MATSUBAYASHI;Tetsuya TANAKA;Naotoshi TSUJI;Takeshi HATTA;コフィ コフィ，エマニュエル ヘルナンデス，サミュエル ダジ，ダニエル ラゼクポ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，岩永史朗，辻 尚利，八田岳士．;エマニュエル ヘルナンデス，コフィ コフィ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，辻 尚利，田仲哲也，八田岳士．;Alexis Roquefeuil;Todor Milanov
• 通讯作者: Todor Milanov

K-theoretic Gromov--Witten invariants and q-difference equations

K 理论格罗莫夫--维滕不变量和 q 差分方程

• 发表时间: 2021
• 作者: Emmanuel Pacia HERNANDEZ;Hayato KAWADA;Daisuke S. YAMAMOTO;Hirotomo Kato;Makoto MATSUBAYASHI;Tetsuya TANAKA;Naotoshi TSUJI;Takeshi HATTA;コフィ コフィ，エマニュエル ヘルナンデス，サミュエル ダジ，ダニエル ラゼクポ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，岩永史朗，辻 尚利，八田岳士．;エマニュエル ヘルナンデス，コフィ コフィ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，辻 尚利，田仲哲也，八田岳士．;Alexis Roquefeuil;Todor Milanov;Alexis Roquefeuil
• 通讯作者: Alexis Roquefeuil

q-oscillatory integrals and confluence in quantum K-theory

量子 K 理论中的 q 振荡积分和汇合

• 发表时间: 2021
• 作者: Emmanuel Pacia HERNANDEZ;Hayato KAWADA;Daisuke S. YAMAMOTO;Hirotomo Kato;Makoto MATSUBAYASHI;Tetsuya TANAKA;Naotoshi TSUJI;Takeshi HATTA;コフィ コフィ，エマニュエル ヘルナンデス，サミュエル ダジ，ダニエル ラゼクポ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，岩永史朗，辻 尚利，八田岳士．;エマニュエル ヘルナンデス，コフィ コフィ，坪川大悟，三上房子，松林 誠，辻 尚利，田仲哲也，八田岳士．;Alexis Roquefeuil;Todor Milanov;Alexis Roquefeuil;Alexis Roquefeuil
• 通讯作者: Alexis Roquefeuil