複素力学系の分岐によるパラメータ空間の構造の研究とその可視化

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二次多項式族のMandelbrot集合の境界を，双二次多項式族の場合に一般化したものの1つである分岐測度の台は，Dujardin-Favreのlanding定理を用いて数値的に計算することができる．石井らとともに開発しているVR(ヴァーチャル・リアリティ，仮想現実)を用いた4次元可視化手法を用いて操作し，観察することで，landing写像の不連続性によって生じる「穴」が存在することを数値的に発見し，この「穴」を通過する複素直線を1つ具体的に求めていた．数値的な観察では，この複素直線上ではほとんどのパラメータでは分岐測度の台と交わらないことが明らかであり，問題となるのは放物型不動点を持つ2つのパラメータとその近傍である．従って，この近傍が分岐測度の台と交わらないことを示すことが肝要である．これを示すために，まずLebedevの不等式を用いた放物型不動点のFatou座標の新しい評価方法を与え，更にそれを利用した精度保証つき数値計算による区間演算を用いて，この2つのパラメータの10の(-6)乗程度の大きさの近傍が分岐測度の台と交わらないことの確認ができたので，あとは数値計算で実際にどこまで確かめられるかだけが問題となった．また，最近Navarroが研究している4次の有理関数族に，3次多項式族の特徴的な1-パラメータ空間のコピーが含まれていることを発見した．この現象はこれらの有理関数が3次のくりこみを持っていることに由来しており，これにShen-WangによるThurston理論を用いた新しい擬等角手術の手法を適用することで，3次多項式族のconnectedness locusが自然に埋めこまれていることが示せると期待している．