くりこみによる複素力学系のパラメータ空間の研究とその可視化

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二次多項式族のMandelbrot集合の境界の，双二次多項式族への1つの一般化である分岐測度の台は，Dujardin-Favreのlanding定理を用いて数値的に計算することができる．石井らとともに開発しているVR(ヴァーチャル・リアリティ，仮想現実)を用いた4次元可視化手法を用いて操作し，観察することで，landing写像の不連続性によって生じる「穴」が存在することを数値的に発見し，この「穴」を通過する複素直線を1つ具体的に求めていた．数値的な観察では，この複素直線上ではほとんどのパラメータでは分岐測度の台と交わらないことが明らかであり，問題となるのは放物型不動点を持つ2つのパラメータとその近傍である．従って，この近傍が分岐測度の台と交わらないことを示すことが肝要である．これを示すために，まずLebedevの不等式を用いた放物型不動点のFatou座標の新しい評価方法を与え，更にそれを利用した精度保証つき数値計算による区間演算を用いて，この2つのパラメータの10の(-6)乗程度の大きさの近傍が，分岐測度の台と交わらないことを確認した．この「穴」の存在を厳密に示すことができれば，VRを用いて発見した初の数学の定理となる可能性があり，数学研究にVRを利用する意義を示すためにも重要と考えている．4次元のVR可視化においては4次元の回転をどのように扱うかが大きな問題である．3次元の回転は3自由度だが，4次元の回転はその倍の6自由度あり，これをVRコントローラなどにどう割り当てる方法は色々なものが考案されている．VRコントローラの回転と並進を用いた4次元回転の操作方法について，既存のものに加えて更にいくつかの方法を実装した．現在それらの操作方法の比較も行っている．