Study of innovative speeding-up of main-variables elimination of multivariate polynomial systems

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本研究の目的は，多変数多項式系の変数消去に関し，完璧だが計算が非常に重いグレブナー基底法に代る，実用的な算法を開発し有用性を示すことである。そのため，多変数多項式の再帰表現を用い，筆者が1992年に提案した『主項消去法』(二多項式系の主項同士を最小の乗数多項式で消去する)を採用した。算法は，具体的にはＧＣＤとＴＥＳ(Term Elimination Sequence)の計算の反復である。そして，前年度までに算法はほぼ完成の域に達した。●今年度(2022年度)は，第一に，算法そのものではなく，計算機内部での算法の実装方法を工夫した。ＴＥＳ計算に関しては，多項式の四則演算のみならず(再帰表現での)Ｍ簡約までも必要で，通常どおり実行したのでは随所で無駄な計算をすることになる。そこで，一つの指定された変数に関しては，その変数の指数部を指定された幅に収めて計算する多変数多項式算術を提案し，実装して有用性を確認した。●第二に，グレブナー基底算法では，主変数群が消去された終結式 R(u,v,..) が得られても，それと他の多項式たちとのＳ多項式を計算し続ける。すると，そのうちイデアルの最小元が計算される。同じことを二多項式系に対して主項消去を用いて行ったところ，予想だにしなかった見事な形で余計因子除去ができた。これは素晴らしい成果だと思う。●本研究で提案した変数消去法は種々の定理から成っている。それらの証明のミスを修正したり証明自体を抜本的に簡明化したりしながら，本研究全般に関する総合報告の形でまとめて，計算機代数に関するアメリカの専門誌(ACM Communications in Computer Algebra)に投稿した。昨年度末に論文受理の連絡を受けたが，その原稿自体の幾つかのミスを修正し，最新の成果もかなり書き込んだので，再審査に入っている。