数値数式融合計算による準素分解の高速化

多項式環のイデアルの準素分解は、代数幾何学や可換環論などの純粋数学のみならず、代数統計や工学などへの応用においても重要な概念である。例えば、準素分解を用いることで、連立代数方程式の求解に利用することもできる。準素分解のアルゴリズムは一般に計算時間が多くかかるものとして知られており、効率的なアルゴリズムの開発が切望されている。現在まで知られている準素分解のアルゴリズムの多くは、グレブナー基底と呼ばれるイデアルの特別な生成系や多項式の因数分解を組み合わせて構成されており、主に記号計算を基本的な計算手法としている。記号計算は数学的な対象を正確に扱える利点がある一方、数値計算に比べ計算コストが大きい傾向がある。本年度（2022年度）は、数値計算の利点と記号計算の利点を上手く融合した新しい準素分解のアルゴリズムを探究するために、様々な視点から準素分解の理論の研究を行った。具体的には、主に次の３点が挙げられる：(1)有限体を利用した準素分解、(2)パラメータを含む準素分解、(3)対称性を持つイデアルの準素分解。まず、(1)について、有限体計算は有理数とギャップがあるという点で数値計算と共通する特徴を持つ。そこで、有限体を利用して準素分解の中間的な分解を計算するアルゴリズムについて研究し、国際会議で発表した。次に、(2)について、イデアルのある変数に数値を代入した時の準素分解の挙動を分析するために、パラメータを含むイデアルについて考えることが有効である。そのため、パラメータを含むイデアルの中間分解の新しいアルゴリズムを開発し、国内研究集会で発表を行った。(3)について、イデアルが対称性を持つ場合には、準素分解の計算を簡略化できることを証明し、国内研究集会で発表を行った。実装したアルゴリズムについては、購入した計算機を用いて、その性能の分析を行った。

多項式環のイデアルの準素分解は、代数幾何学や可換環論などの純粋数学のみならず、代数統計や工学などへの応用においても重要な概念である。例えば、準素分解を用いることで、連立代数方程式の求解に利用することもできる。準素分解のアルゴリズムは一般に計算時間が多くかかるものとして知られており、効率的なアルゴリズムの開発が切望されている。現在まで知られている準素分解のアルゴリズムの多くは、グレブナー基底と呼ばれるイデアルの特別な生成系や多項式の因数分解を組み合わせて構成されており、主に記号計算を基本的な計算手法としている。記号計算は数学的な対象を正確に扱える利点がある一方、数値計算に比べ計算コストが大きい傾向がある。本年度（2022年度）は、数値計算の利点と記号計算の利点を上手く融合した新しい準素分解のアルゴリズムを探究するために、様々な視点から準素分解の理論の研究を行った。具体的には、主に次の３点が挙げられる：(1)有限体を利用した準素分解、(2)パラメータを含む準素分解、(3)対称性を持つイデアルの準素分解。まず、(1)について、有限体計算は有理数とギャップがあるという点で数値計算と共通する特徴を持つ。そこで、有限体を利用して準素分解の中間的な分解を計算するアルゴリズムについて研究し、国際会議で発表した。次に、(2)について、イデアルのある変数に数値を代入した時の準素分解の挙動を分析するために、パラメータを含むイデアルについて考えることが有効である。そのため、パラメータを含むイデアルの中間分解の新しいアルゴリズムを開発し、国内研究集会で発表を行った。(3)について、イデアルが対称性を持つ場合には、準素分解の計算を簡略化できることを証明し、国内研究集会で発表を行った。実装したアルゴリズムについては、購入した計算機を用いて、その性能の分析を行った。