非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解構造の解明

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走化性方程式系は、化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。現在、知覚関数が線形の場合に関して多くの成果が得られている。本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ走化性方程式系に関して、解の挙動と知覚関数との関係を明らかにする事を目的とする。知覚関数が線形の場合については多くの研究成果が得られており、リアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量を研究する事でそれらの研究成果が得られている。一方非線形の知覚関数の場合も生物学的な観点で重要な研究対象であるが、その場合にはリアプノフ関数の存在が未だ知られていない。当該年度は、走化性方程式の中で非局所走化性方程式系と呼ばれる方程式系について、補助関数を用いて解の積分量を評価することに成功した。この評価を用いることにより、知覚関数が対数関数の正定数倍であるとき、その正定数がn/(n-2)より小さい時、全ての解は時間大域的に存在し有界であることを示した。ここで、nは空間の次元であり、3以上の自然数である。我々は、正定数がn/(n-2)より大きなとき、非有界な解を持つと予想しており、n/(n-2)は方程式系の解の性質を分ける閾値であると予想している。その意味で、当該年度における我々の成果は、n/(n-2)が閾値であると言う予想に対する肯定的な証拠となっている。また、知覚関数が線形である局所的走化性方程式系の後方自己相似解の構成に成功した。この方法は、リアプノフ関数を用いておらず非線形知覚関数を持つ走化性方程式にも適応可能であると考えている。その意味で、この結果は本研究の進展に役立つものであると考えている。