Higher dimensional representations of fundamental groups of low-dimentional manifolds and geometric structures

本研究は2次元の曲面や3次元多様体の幾何構造の研究である。幾何構造はこれらの多様体の基本群の線型表現と密接に関連する。従来は2次元表現であるSL(2,R) と SL(2,C) への表現がよく調べられていて今でも重要な研究対象であるが，一方で高次の表現の研究が活発に行われるようになっている。1点穴あきトーラスと開区間との直積でできる3次元多様体を8面体に分割することで，基本群のSL(2,C)表現の変形空間を理想双曲8面体の変形空間と関連づけられる。この8面体分割から自然に構成される1点穴あきトーラス上の複素射影構造を見ることで，展開写像が単射でない擬フックス群をホロノミーにもつ複素射影構造がどのように得られるか，特にそれが一度離散表現を離れて再び離散表現に至る過程が可視化できる。さらにこの手法は高次元表現の記述にも用いることができる。また表現の空間のなかで発散する表現の列を構成する際にも非常に有効な手段である。2022年度は対面での研究集会に参加する機会もあった。研究発表として，4月5日にオンラインセミナーでCuller-Shalen理論の概説に関する発表を行った。2月15日から17日に行われたオンラインでの研究集会「リーマン面・不連続群論」研究集会で「Property (T) をもつある有限表示群について」の講演を行った。また，トポロジーシンポジウムの北見での開催の世話人を務めた。

本研究は2次元の曲面や3次元多様体の幾何構造の研究である。幾何構造はこれらの多様体の基本群の線型表現と密接に関連する。従来は2次元表現であるSL(2,R) と SL(2,C) への表現がよく調べられていて今でも重要な研究対象であるが，一方で高次の表現の研究が活発に行われるようになっている。1点穴あきトーラスと開区間との直積でできる3次元多様体を8面体に分割することで，基本群のSL(2,C)表現の変形空間を理想双曲8面体の変形空間と関連づけられる。この8面体分割から自然に構成される1点穴あきトーラス上の複素射影構造を見ることで，展開写像が単射でない擬フックス群をホロノミーにもつ複素射影構造がどのように得られるか，特にそれが一度離散表現を離れて再び離散表現に至る過程が可視化できる。さらにこの手法は高次元表現の記述にも用いることができる。また表現の空間のなかで発散する表現の列を構成する際にも非常に有効な手段である。2022年度は対面での研究集会に参加する機会もあった。研究発表として，4月5日にオンラインセミナーでCuller-Shalen理論の概説に関する発表を行った。2月15日から17日に行われたオンラインでの研究集会「リーマン面・不連続群論」研究集会で「Property (T) をもつある有限表示群について」の講演を行った。また，トポロジーシンポジウムの北見での開催の世話人を務めた。