変形量子化と非可換指数関数の研究及びその応用

１変数star積代数におけるstar指数関数は、変形パラメータがある角領域を動く時、時間変数に関し急減少するという性質をもつ。この急減少性から時間変数に関する0から正の方向にむかう無限積分が可能である。一方、変形パラメータが0のときstar積代数は通常の関数のなす代数である。通常の代数における生成元wの逆元は逆数1/wである。ただしwが0の点を除く。この関数を変形パラメータに沿って0から変形していくことを考えるとこれは変形の方程式の形式解で、変形パラメータに関する発散級数であり形式的な逆元であることもわかる。ボレル変換によりこの発散級数を漸近級数にもつ解析関数を構成することができる。ここで、上記の広義積分はstar積代数においてこの発散級数を漸近展開にもつある各領域における一つの解析関数を与えていることがわかる。また、0から負の無限大への広義積分も同様の性質を持つことが示せるが、二つの広義積分は等しくないことも示せる。これらのことから、このstar積に関する形式的な逆元の正則化は存在するがただ一つではないことになる。上記star指数関数の広義積分のよる正則化は多数存在する形式的逆元たちの、一つの標準形を与えるものであると解釈できる。さらに二つの広義積分から変形パラメータの0極限をとるとそれぞれ生成元は生成元の逆数をそれぞれ異なる部分領域に制限したものに収束していることがわかり、その違いもこの意味で明確になった。これを１変数の場合から多変数の場合に拡張して考察をすると、star積代数における指数関数の特異点の性質が漸近級数展開の観点からも理解できると期待される。

１変数star積代数におけるstar指数関数は、変形パラメータがある角領域を動く時、時間変数に関し急減少するという性質をもつ。この急減少性から時間変数に関する0から正の方向にむかう無限積分が可能である。一方、変形パラメータが0のときstar積代数は通常の関数のなす代数である。通常の代数における生成元wの逆元は逆数1/wである。ただしwが0の点を除く。この関数を変形パラメータに沿って0から変形していくことを考えるとこれは変形の方程式の形式解で、変形パラメータに関する発散級数であり形式的な逆元であることもわかる。ボレル変換によりこの発散級数を漸近級数にもつ解析関数を構成することができる。ここで、上記の広義積分はstar積代数においてこの発散級数を漸近展開にもつある各領域における一つの解析関数を与えていることがわかる。また、0から負の無限大への広義積分も同様の性質を持つことが示せるが、二つの広義積分は等しくないことも示せる。これらのことから、このstar積に関する形式的な逆元の正則化は存在するがただ一つではないことになる。上記star指数関数の広義積分のよる正則化は多数存在する形式的逆元たちの、一つの標準形を与えるものであると解釈できる。さらに二つの広義積分から変形パラメータの0極限をとるとそれぞれ生成元は生成元の逆数をそれぞれ異なる部分領域に制限したものに収束していることがわかり、その違いもこの意味で明確になった。これを１変数の場合から多変数の場合に拡張して考察をすると、star積代数における指数関数の特異点の性質が漸近級数展開の観点からも理解できると期待される。