可積分系の理論

半古典的な固有値は量子力学系をプランク定数の形式的べき級数に展開すること即ち、シュレデインガー方程式の漸近解を求めることによりえられる。量子力学系をプランク定数のべき級数として展開し固有値、固有関数、基本解の漸近級数展開を求めることはWKB法と呼ばれるものであるが、個々の力学系から複数の力学系の代数にまで広げて考えると自然に変形量子化(deformation quantization)の概念が得られる。deformation quantizationの枠組みで水素原子などいくつかの完全積分可能な力学系の半古典的な固有値を計算することが可能であることがFlato、Sternheimerらの研究によって知られている。完全積分可能な力学系の量子化を扱う枠組みとして、本研究においては退化する点を許すPoisson構造のdeformation quantizationの可能性について調べた。非退化な場合に常に可能であることはすでに知られているがその拡張の考察であること、また量子群からきまるPoisson構造などが退化する典型的な例であることなどより、問題の重要性がうかがえる。以下、得られた成果を列挙する。1.与えられたPoisson構造がdeformation quantizableであるための必要十分条件を得た。2.非局所的かつ歪対称な3-cocycleがcoboundaryであることを示した。3.非局所なdeformation quantizationが存在するための必要十分条件を与えた。4.2次のPoisson構造がdeformation quantizableであるための障害を具体的に表した。5.結合的な代数として変形するのではなくalter native algebraとして変形することも考察可能であることを、その必要十分条件を与えることで示した。

半古典的な固有値は量子力学系をプランク定数の形式的べき級数に展開すること即ち、シュレデインガー方程式の漸近解を求めることによりえられる。量子力学系をプランク定数のべき級数として展開し固有値、固有関数、基本解の漸近級数展開を求めることはWKB法と呼ばれるものであるが、個々の力学系から複数の力学系の代数にまで広げて考えると自然に変形量子化(deformation quantization)の概念が得られる。deformation quantizationの枠組みで水素原子などいくつかの完全積分可能な力学系の半古典的な固有値を計算することが可能であることがFlato、Sternheimerらの研究によって知られている。完全積分可能な力学系の量子化を扱う枠組みとして、本研究においては退化する点を許すPoisson構造のdeformation quantizationの可能性について調べた。非退化な場合に常に可能であることはすでに知られているがその拡張の考察であること、また量子群からきまるPoisson構造などが退化する典型的な例であることなどより、問題の重要性がうかがえる。以下、得られた成果を列挙する。1.与えられたPoisson構造がdeformation quantizableであるための必要十分条件を得た。2.非局所的かつ歪対称な3-cocycleがcoboundaryであることを示した。3.非局所なdeformation quantizationが存在するための必要十分条件を与えた。4.2次のPoisson構造がdeformation quantizableであるための障害を具体的に表した。5.結合的な代数として変形するのではなくalter native algebraとして変形することも考察可能であることを、その必要十分条件を与えることで示した。