有限環上のマトロイドの構造解析と工学的応用

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有限環上の符号とマトロイドの関係について調査する上で、以下の具体的な課題を設定していた：(1) ポリマトロイドの臨界指数の環上の符号を用いた類似物に関する極値問題の考察、(2)有限環上の符号を用いたマトロイド及びポリマトロイドの表現、(3)有限環上の符号を用いた秘密分散共有法の提案とそのアクセス構造の解析。特に(1)、(2)の課題において、ポリマトロイドの極値問題について研究を進める中で、そのq-類似である(q,m)-ポリマトロイドが重要であることがわかり、本年度は(q,m)-ポリマトロイドに対する極値問題を中心に研究を執り行った。q-類似とは、有限集合やその要素数に関して記述される概念を、有限ベクトル空間とその次元に関する記述で置き換えた概念である。通常のマトロイドが有限体上の線形符号と関連しているのと同様、(q,m)-ポリマトロイドは階数距離符号という、行列を符号語とした線形符号と関連していることが近年明らかになった。階数距離符号は、複数交差するネットワークを扱うネットワーク符号化や、複数の受信者へ効率的に情報を伝送するマルチキャスト通信などに応用を持ち、ビッグデータへの関心が高い現代において重要な役割を果たす。本年度においては、階数距離符号の観点から、(q,m)-ポリマトロイドに対する極値問題を定式化し、臨界定理のq-類似が得られることを明らかにした。また、通常のマトロイド理論における臨界問題への重要なアプローチの一つである、ブロックの理論を(q,m)-ポリマトロイドへ拡張できることを明らかにした。