ブルバキ完全列解析とその応用

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2023年度は、以下の研究を行った。■正準加群のトレースイデアルのcolengthはゴレンシュタイン性との乖離を測る不変量になる。我々は正準加群のトレースイデアルのcolengthが大きい1次元コーエン・マコーレー環に着目し、その環構造や加群の性質について調べた。とりわけ重複度が小さい数値半群環の場合において前述の性質を持つ環を分類した。その応用として、正準加群のトレースイデアルのcolengthの上限についていくつかの文献で提出されていた2つの予想に対してどちらにも反例が存在することを示した。■正準イデアルの節減に着目したコーエン・マコーレー環の新しい不変量を与え、その不変量を用いてゴレンシュタイン性との乖離の記述を目的とした二つの性質（almost ゴレンシュタイン性とnearly ゴレンシュタイン性）の関係について調べた。■既約ヒルベルト関数とヒルベルト関数の間の不等式を示し、既約ヒルベルト関数によるウルリッヒ加群の特徴づけを与えた。■（次数付）ブルバキ完全列を一般化する新しい次数付フィルトレーションの構成方法を与えた。応用として、節減数が2以下のイデアルまたは節減数が2以下の整閉イデアルのとき、そのイデアルの第0次, 第1次, 第2次ヒルベルト係数の間に不等式が成り立つことを示した。またその不等式が等号になる必要十分条件が随伴次数環のdepthが次元-1以上であることを示した。