オービフォルド構造に注目した非負曲率の研究および代数多様体の分類理論への応用

今年度は余接ベクトル束が0以上の曲率を持つ射影複素代数多様体の構造を研究した. 東北大学の松村慎一氏との共同研究により, 「数値的小平次元1以下である余接ベクトル束が0以上の曲率を持つ代数多様体の構造」を完全に決定した. また「第２チャーン類が消えている代数多様体の構造」も完全に決定した. より正確な主張を述べると以下の通りである:1. 第2チャーン類が消えているならば, 余接ベクトル束が0以上の曲率を持ち数値的小平次元は1以下である.2. 余接ベクトル束が0以上の曲率を持ち数値的小平次元は1以下ならば, 有限被覆で持ち上げると, トーラスまたは種数2以上の曲線上のトーラスファイブレーションの構造を持つ.また今回の研究において, 第2チャーン類が消えている代数多様体に対してアバンダンス予想が成り立つことも証明している. アバンダンス予想とは, "標準朿がネフならば半豊富である"という予想であり, 極小モデル理論における重要な未解決問題である. この予想は一般次元において限られたケースでしか成り立つことが知られていない. 今回の研究で任意の次元の第２チャーン類が消えている代数多様体に対してアバンダンス予想が示せたのは驚きである. 証明にはCampanaのSpecial多様体の理論及びオービフォールド対の理論を用いるため, この研究はオービフォールドの観点から射影複素代数多様体の構造を明らかにした研究とも言える.

今年度は余接ベクトル束が0以上の曲率を持つ射影複素代数多様体の構造を研究した. 東北大学の松村慎一氏との共同研究により, 「数値的小平次元1以下である余接ベクトル束が0以上の曲率を持つ代数多様体の構造」を完全に決定した. また「第２チャーン類が消えている代数多様体の構造」も完全に決定した. より正確な主張を述べると以下の通りである:1. 第2チャーン類が消えているならば, 余接ベクトル束が0以上の曲率を持ち数値的小平次元は1以下である.2. 余接ベクトル束が0以上の曲率を持ち数値的小平次元は1以下ならば, 有限被覆で持ち上げると, トーラスまたは種数2以上の曲線上のトーラスファイブレーションの構造を持つ.また今回の研究において, 第2チャーン類が消えている代数多様体に対してアバンダンス予想が成り立つことも証明している. アバンダンス予想とは, "標準朿がネフならば半豊富である"という予想であり, 極小モデル理論における重要な未解決問題である. この予想は一般次元において限られたケースでしか成り立つことが知られていない. 今回の研究で任意の次元の第２チャーン類が消えている代数多様体に対してアバンダンス予想が示せたのは驚きである. 証明にはCampanaのSpecial多様体の理論及びオービフォールド対の理論を用いるため, この研究はオービフォールドの観点から射影複素代数多様体の構造を明らかにした研究とも言える.