開4次元多様体に対するゲージ理論とその応用

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この研究は, 被覆空間・幾何構造に付随する非コンパクトな4次元多様体に対してゲージ理論を展開するものであり, さらに, これを用いて低次元トポロジー・シンプテクティックトポロジーに応用することを目標としていた. 今年度は, 主にコンタクト構造に付随する非コンパクト4次元多様体に対するSeiberg-Witten理論の展開に関する研究を行なった. 一つの成果として, 「A note on generalized Thurston-Bennequin inequalities」というタイトルの論文を飯田暢生氏, 今野北斗氏と書き, 雑誌「International Journal of Mathematics」に投稿し, アクセプトされた. この論文では, S^3を境界に持つ滑らかな　4次元多様体に埋め込まれた境界付き曲面に対するThurston-Bennequin型のadjunction inequalityを証明した. adjunction inequalityは4次元トポロジーにおいて重要な対象の一つであり, これを用いてエキゾチックな微分構造の発見を多くなされてきた. また, 我々の手法は, 曲面の自己交差が負の場合の境界付き曲面に対しても適応可能であり, また, 曲面の境界がS^3内のlinkになっている場合にも適応可能である.また, 今年度は, 飯田暢生氏と議論を行い, S^3内の(標準的なコンタクト構造に対する)transverse knotに対して, Seiberg-Witten Floer homotopy理論を用いて不変量を構成した. また, この不変量の非消滅定理を示し, これをsymplectic surfaceの存在性に応用した. この結果については現在論文執筆中である.