非線型波動の挙動に及ぼすポテンシャルの影響について

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本研究の目的はポテンシャルのついた非線型波動方程式について考察し,ポテンシャルが解に及ぼす影響を調べその数学的仕組みを解明することである。本年度は空間2次元における初期値問題について非線型項が未知関数それ自身にのみ依存する場合を考察している。今までに分かったことは,次の4つの条件のうちいずれかが成り立てば方程式の解が有限時間内で爆発してしまうというものである。いずれもポテンシャルが負であることを仮定している。1)非線型項のべきがある値より小さい場合。2)初期値の無限遠方での減衰のべきがある値より小さい場合(この値は非線型項のべき数にのみ依存する)。3)ポテンシャルの無限遠方での減衰のべきがある値より小さい場合。4)ポテンシャルが大きい場合。これらは空間3次元の場合と同様である。3)の値は空間3次元と同じで,このことからポテンシャルのべきがこの値より大きければ時間大域解が存在することが予想された。しかし、今年度の研究において時空のある領域では解の減衰が悪くなることが分かった。ポテンシャルが解の減衰に影響を及ぼしているのである。この現象は空間3次元の場合と異なっており,空間2次元においてホイヘンスの原理が成り立たないことと密接に関係していると思われ非常に興味深い。以上の点を考えると,たとえポテンシャルが無限遠方で速く減衰していても解は有限時間内で爆発してしまうと予想される。それを示すためには解の減衰が悪くなる領域がもっと広くなるかどうかを確かめる必要があり現在研究中である。