弾性方程式の解の滑らかさについて

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本研究の目的は弾性方程式の解の性質を今までの結果よりも精密に解明することである.特に弾性方程式の初期値問題について,時間局所解を構成するために必要な初期値の滑らかさの仮定をどこまで弱められるかを調べるのが主な目的である.今までに分かったことは次の通りである.弾性方程式に2種類の偏微分作用素を作用させ弾性波を縦波,横波に分けると伝播速度の異なる2つの方程式が得られる.それぞれの方程式の非線型項は2つの項からなる.1つの項だけ取り出し他の項を無視してフーリエ変換を行うと,プラズマに現れるクライン・ゴルドン・ザハロフ方程式と同じタイプであることが分かった.この方程式については初期値の条件を弱めて時間局所解を構成できることが報告者の共同研究により既に知られている.よって,Bourgain氏によって開発されたフーリエ制限ノルム法を用いるクライン・ゴルドン・ザハロフ方程式の評価法にしたがって,弾性方程式の非常に特殊な場合は初期値の仮定を弱めることができた.次に一般の場合について考察し,異なる2つの方法を試みた.1つは,方程式を2つに分けず元の方程式のままで考察していくことである.そのためにはこの方程式に対するストリッカーツ評価式を導くことが必要不可欠であるのだが,導出には困難を極めた.そこで2つ目の方法として,重み付き関数がかかったソボレフの不等式を導いて評価していくことにした.不等式の導出には成功したが,それでも必要とされる滑らかさは目標のエネルギークラスよりも強いことが判明した.