膨張宇宙モデルにおけるスケール因子が非線形波動に及ぼす影響について

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標準宇宙モデルとして知られているフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー時空における非線形波動について考察する．この時空の計量は一般相対性理論に登場するアインシュタイン方程式の厳密解の一つであり，一様等方的な物質分布のもとで膨張または収縮する宇宙モデルを表す．本研究の目的は，解の爆発の条件，爆発解の存在時間の評価を明らかにし，さらに平坦な時空であるミンコフスキー空間の場合での既知の結果と比較することによって，宇宙膨張速度を表すスケール因子が非線形波動に及ぼす影響を解明することである．本年度はまずこれまでに得られた爆発解の存在時間の評価を場合によっては改良できることを示した．非線形項が未知関数の冪乗であるタイプあるいは未知関数の空間変数に関する偏導関数の冪乗タイプの波動方程式について，等速膨張あるいは加速膨張に該当する場合，消散係数が1より小さいならば爆発解の存在時間が短くなることを証明した．未知関数の時間に関する偏導関数の冪乗タイプについては，減速膨張，等速膨張あるいは加速膨張する場合，新たに見つかった臨界指数に等しいときの解の爆発が未解決であった．本年度この問題に取り組んだ結果，解の爆発を示すことに成功し，爆発解の存在時間の評価を求めることができた．新しい臨界指数に等しいときの爆発解の存在時間の評価は既知の臨界指数の場合の評価と同じである．これまでの結果と同じく，ミンコフスキー空間の場合と比べて解の爆発が起こりやすい．これらの結果をまとめた論文を学術雑誌に投稿し掲載が決まった．次に加速膨張するドジッター時空を一般化した宇宙モデルの場合についても研究した．この場合，消散係数は定数にならず時間変数に依存し消散効果をもつ．解の爆発を示すことができ，爆発解の存在時間についてもドジッター時空と同じ評価が成り立つことがわかった．この研究成果は日本数学会の一般講演で発表した．