パンルヴェ方程式の数学的構造の解明に向けての基礎研究

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パンルヴェ方程式は、パンルヴェ微分方程式とパンルヴェ差分方程式からなる。6個しかないパンルヴェ微分方程式の中で、パンルヴェ第6方程式が最も一般的な方程式である。この方程式に対しては、神保坂井のパンルヴェq差分方程式と呼ばれるものがあって、q→1という極限操作によって、パンルヴェ差分方程式はパンルヴェ微分方程式に移行することが知られている。パンルヴェ第6微分方程式は、4点フックス型線形方程式をモノドロミー不変のまま特異点パラメータで摂動させた際の方程式の係数に関する条件式として特徴づけられるが、パンルヴェ第6方程式の解の性質がわかるということと対応する線形方程式の解の性質がわかるということは等価である。このことに関し、Kitaev-Korotkin(1998)は、特別な場合の4点フックス型線形微分方程式の解を楕円テータ函数をもちいて具体的に作ったが、ここでの方法は非常に天下り的なものであった。ところが、わたしは前述のパンルヴェq差分方程式に対応する線形q差分方程式の接続行列から出発して、極限を用いないきわめて単純なreductionにより、Kitaev-Korotkinの解が構成できることを発見した。従来知られていたq差分方程式と微分方程式との関係は、q→1という極限を介していたということのみであったから、この発見は両者の関係の新しい兆候とみられる。このことは、日本語ではすでにまとめてあるが、英文論文は準備中であり、出来次第公表する予定である。