非線形シュレディンガー方程式の解の漸近挙動に関する研究

本研究は、最先端で行われている数学研究(特に、非線形シュレディンガー方程式の相対論版である非線形クライン・ゴルドン方程式の解の漸近挙動に関する研究)を行い、そこから得られた生きた題材を高校生にも分かる形で還元し、高校生に数学に対する興味や関心を持たせることを目標としている。研究を以下の(1)(2)に分けて行った。(1) 砂川秀明氏(大阪大学)と共同で、質量共鳴がある場合の非線形クライン・ゴルドン方程式(以下NLKGと略す)の解の長時間挙動について考察した。一般に、質量項の間にある意味での共鳴関係がある場合にはNLKGの解のエネルギーは時間とともに増大していくことが知られているが、一方で、非線形項の形状にある種の構造がある場合にはエネルギーの増大が起こらないことも知られている。今回の共同研究により、質量共鳴下でもエネルギー増幅が起こらないための非線形項の形状に関する新しい十分条件を得ることに成功した。この成果は"Global solutions for two-dimensional nonlinear Klein-Gordon systems in the presence of mass resonance"と題する論文にまとめて国際誌に投稿する予定であり、現在その準備中である。(2) 最先端での数学の研究((1)の研究)と高校数学とをリンクするような教材を開発した。(1)の結果を得るのに非常に重要であった補題は、一見複雑そうに見えるが、複素数の知識と連立1次方程式の解の関係が分かっていれば証明できることなど、実際に授業を行った。最先端の数学研究の場で用いられている道具は現在高校生が学んでいる数学が基礎になっていることを実感させることができ、また数学を身近に感じさせることができた。

本研究は、最先端で行われている数学研究(特に、非線形シュレディンガー方程式の相対論版である非線形クライン・ゴルドン方程式の解の漸近挙動に関する研究)を行い、そこから得られた生きた題材を高校生にも分かる形で還元し、高校生に数学に対する興味や関心を持たせることを目標としている。研究を以下の(1)(2)に分けて行った。(1) 砂川秀明氏(大阪大学)と共同で、質量共鳴がある場合の非線形クライン・ゴルドン方程式(以下NLKGと略す)の解の長時間挙動について考察した。一般に、質量項の間にある意味での共鳴関係がある場合にはNLKGの解のエネルギーは時間とともに増大していくことが知られているが、一方で、非線形項の形状にある種の構造がある場合にはエネルギーの増大が起こらないことも知られている。今回の共同研究により、質量共鳴下でもエネルギー増幅が起こらないための非線形項の形状に関する新しい十分条件を得ることに成功した。この成果は"Global solutions for two-dimensional nonlinear Klein-Gordon systems in the presence of mass resonance"と題する論文にまとめて国際誌に投稿する予定であり、現在その準備中である。(2) 最先端での数学の研究((1)の研究)と高校数学とをリンクするような教材を開発した。(1)の結果を得るのに非常に重要であった補題は、一見複雑そうに見えるが、複素数の知識と連立1次方程式の解の関係が分かっていれば証明できることなど、実際に授業を行った。最先端の数学研究の場で用いられている道具は現在高校生が学んでいる数学が基礎になっていることを実感させることができ、また数学を身近に感じさせることができた。