Kazhdan-Lusztig多項式の組合せ論的構造解明

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1979年にD.KazhdanとG.Lusztigによって導入されたKazhdan-Lusztig多項式(以下K-L多項式とかく)はCoxeter群の2元に対して定義される整数係数の多項式で、表現論的に非常に重要な意味をもち、全ての係数の非負性が予想されている。この問題は表現論的手法の使えるCoxeter群に対しては肯定的に解決されているが、一般のCoxeter群に対しては未解決問題として残っている。1982年,Lusztigは通常のK-L多項式の多変数化としてweighted parabolic K-L多項式を導入し、1987年にはV.Deodhar がparabolic analogueであるparabolic K-L polynomialを導入した。これらの多項式は通常のK-L多項式よりも構造がもちろん複雑であるが、それ故に情報量も多いと考えられる。従って、拡張された多項式の研究は、K-L多項式の全ての係数の非負性を示すためにも非常に意義のあることである。今年度は、これらの多項式の全ての拡張として昨年度に導入したweighted parabolic K-L多項式の組合せ論的及び表現論的考察を目的として具体的には以下の研究を行った。1.weighted parabolic K-L多項式のweighted K-L多項式を用いた記述を求めた。この結果はDeodharがparabolic K-L多項式とK-L多項式に対して得た結果の拡張となっている。2.K-L多項式を用いて定義されているC_ω基底の1つの拡張をweighted parabolic K-L多項式を用いて導入し、weighted parabolic K-L多項式の帰納的な記述を求めた。この結果はこれまでに導入されたK-L多項式に対する帰納的記述の拡張となっている。3.BrentiがK-L多項式に対して行った方法に従って、inverse weighted parabolic K-L多項式の組合せ論的記述を行い、その系として1次の係数の正確な記述を得た。