Kazhdan-Lusztig多項式の組合せ論的構造と対称関数との関連性解明

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Coxeter群の2つの元に対して定義されるKazhdan-Lusztig多項式(以下K-L多項式と呼ぶ)は表現論的に非常に重要な意味を持つ整数係数の多項式として知られ,全ての係数の非負性が予想されている.この予想問題は,各係数が何らかの組合せ論的に定義される数で表せることを示唆するもので,組合せ論的にも非常に興味深く,意義のある問題と考えられる.そのためにも,weighted parabolic K-L多項式やparabolic K-L多項式等の拡張されたK-L多項式は通常のK-L多項式よりも情報量が多いと考えられるので,それらの組合せ論的及び表現論的構造の研究は非常に重要である.また,最近K-L多項式との関係について言及されている対称関数の組合せ論的考察や,他の様々な対称関数に関連した組合せ論的対象の考察は,これらの問題を解決する上での有益な情報を得る事にもつながると考えられる.以上の点を考慮した上で研究を行い,今年度は具体的に下記の結果が得られた.1.通常のK-L多項式に対して考えられるW-graphのweighted parabolic caseへの拡張を行った.その結果,通常のW-graphに対して定義される表現は既約表現であるが,この場合では必ずしも既約表現になるとは限らないことがわかった.2.Young図形の各箱に入る数を制限したsemi-standard tableauのweightの母関数がhook lengthを用いて記述できることはよく知られている.そこで,(P,w)-partitionの拡張を一般のposetに対して行い,その系として,ある条件を満たすtableauのweightの母関数がsemi-standard tableauと同様の式で書けることを示した.K-L多項式との関連については現在考察中である.