ラプラス作用素の幾何学とbubblingの研究

点击翻译按钮获取中文摘要

リーマン多様体上にはラプラス作用素を通して熱核が定義される。加須栄篤氏(大阪市大)との共同研究において、コンパクト・リーマン多様体達の間にその熱核を使って、新たに距離を導入し,それをスペクトル距離と名付けた。そして、その研究の目的は、多様体の列がスペクトル距離に関し収束するとき、その極限空間の持つ性質を調べることである。今では、多様体の列が熱核の一様な上限を持つ場合すなわち一様なソボレフ不等式が成り立つ場合を考えている。このとき、熱核の一様連続性の欠如により、極限空間の熱核による幾何構造と、グロモフ・ハウスドルフ距離による収束極限としての幾何構造とは一般に季離してしまう。交付申請書において次の問題(a)(b)を提示した。(a) コンパクト・リーマン面からの共形的branched曲面の族がバブルするとき、いわゆる‘ネック'をスペクトル幾何の立場から解析する。バブルのネックは等周不等式により、一点につぶれることが知られている。しかし,スペクトル距離で見ると、ネックは決して一点ではないある空間に収束することが分かる。そしてこれは共形変換すると、無限に伸びるチューブの上での解析の問題となり、既存の解析学の研究結果や技術は役にたたず、まだ解決に到っていない。(b) その他の幾何とスペクトル距離(的な考え方)との接点を模索する。この問題に関しては、ベクトル束の幾何とスペクトル幾何との一つの接点として、半群の優越と加藤の不等式、ボホナー技巧などのトピックスが挙げられる。このトピックスに関して現在、詳細に研究中である。何らかの成果が得られることを期待している。