アレクサンドロフ空間の大域解析

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リーマン多様体全体の空間はハウスドルフ距離により距離空間とみなすことができる.さらに曲率の制限し直径を押さえた部分集合を考えると,プレコンパクトとになることが知られている.これは多様体の収束定理や崩壊理論と関係しているが,これまでの研究は点(つまり,多様体やその極限,あるいはアレクサンドロフ空間)の構造および,それらの間の関係を論じた物でり,全体の空間の研究は,無限次元の空間であることもあり進んでいなかった.現在このような空間の構造を解明する方法の模索を続けていおり,以下のようなことを明らかした.まず,一点の近傍の空間-つまり,一点に崩壊する多様体全体の空間-の構造を,全体を拡大して極限を取ることで現れる有限次元の空間の構造を決定する問題に定式化し,変形空間を調べることで低次元の場合に決定した.更に,ハウスドルフ距離だけ考えるのではなく,いろいろな構造-例えば,向き-を付け加えた対象を考えることで新たな構造が見えてくることも分かった.次に,極限が高次元の多様体の場合に,このような空間の構造を調べた.多様体の崩壊と,極限の多様体上のヴェクトル束を関係づける事で,特性類の構造と全体の構造との関連を明らかにした.