距離空間の幾何学における量子統計力学の方法

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コンパクトアレクサンドロフ空間の有限個の点をランダムに取り,これをランダムネットという.ある(相互作用)距離より近いネットの頂点上にあるスカラー場の問にフックの法則にしたがう力が働き,振動するようなハミルトニアンを考える.このような場全体は有限次元ベクトル空間をなすので,更にこのベクトル空間上の複素L^2空間を考え,この系をbose統計に従うとして第二量子化し,更に密度行列を構成することで統計力学を構成した.ここで考察したハミルトニアンのポテンシャルはネットの個数が無限になるときランダムなネットの列で関数のデリクレ積分に収束することを用いて,ネットの個数が無限になるときランダムなネットの列で意味のある収束をすることを示した.次に次元は等しいが異なる(がある意味近い)空間の二つのランダムネットの列をとり,体積を規格化した後,固定した温度ごとの自由エネルギーの摂動を計算した.よく知れれているように物理的系では自由エネルギーは系の摂動に対して凸関数になっているので,自由エネルギーの二階微分が非負二次形式になると予想したが,確かにそれが示された.そしてその下限を与えるようなネットの対応の列を選び,その後個数が無限になるとき,元の空間間の写像に漸近的に収束することを示した,これにより,アレクサンドロフ空間全体にフィッシャー計量に当たるものを一般化することができた.最後にその計量とグロモフーハウスドルフ距離との関係を考察した.