離散群の分解と低次元トポロジー

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この研究の目的は離散群についての様々な性質を、幾何学的な手法を使って解明することである。より詳しくいえば、これには2つの方向性がある。一つは、幾何学的に自然に考えられる対象から自然に派生する離散群について、その幾何学的背景に注意しながら研究するという方向である。もう一つは、特に幾何学的な背景をもたない離散群に、そもそも内在する幾何学的構造を見い出し、それを頼りに、研究をすすめるという方向である。一般には、その2つが混在するといって良い。今年度は2つの研究成果を得た。一つは、いくつかのクラスの離散群の2次有界コホモロジーを計算することに、成功したことである。なかでも顕著なものとして、"無限個のエンド"をもつ群に関する成果がある。離散群の有界コホモロジーについては、それまでほとんど計算できる例がなかったので、関係者から高く評価されている。この仕事はTransaction of the Amarican Mathematical Societyに出版予定である。この研究のもう一つの目標/成果は、それぞれの離散群のBass-serre理論の意味での分解の仕方をすべて記述することである。この件については、研究の主要部分を大体終え、いまは、論文にまとめる作業をしている。この成果の意味/応用はこの分解の構造は、群の自己同型群によってたもたれるので、群の自己同型群の研究についての一般的な指針/方法を与える。結果は、非常に一般的なクラスの離散群に対して、証明されているので、意義はとても大きい。この結果は、ある意味で3次元多様体で知られていた、分解の理論を背景にするのだが、この群論での結果は、逆に幾何学、トポロジーへのフィードバックが考えられる。すなわち、ある種の条件の下で、3次元とは限らない多様体の自然な構造の発見や、ある種の幾何構造、例えば曲率についてのある条件をみたすリーマン多様体の構造定理などが、期待できる。