カペリ型微分作用素の積分幾何学的研究と調和解析への応用

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1998年度は主に、アファイングラスマン多様体上のカペリ型微分作用素とラドン変換との関係について研究した。得られた結果は次の通りである。G(d、n)を、IR^nにおけるd次元平面全体からなるアファイングラスマン多様体、S(G(d、n)をG(d、n)上の急減少関数全体のなす空間、又、R^P_qをG(p、n)からG(q、n)へのラドン変換とする。そして、S=rankG(p、n)、r=rankG(q、n)とする。(1) p<qかつs<rを仮定する。するとラドン変換R^P_q:S(G(p、n)→S(G(q、n)の像は、ある2S+2階の(Pfaffianと呼ばれる)E(n)不変な微分作用素のkernelとして特徴付けられる,(Gel'fandのグループの研究の一般化)(2) p<qかつs≦rを仮定する。すると、ラドン変換R^P_qに対する反転公式が存在する事が判るが、更に、この反転公式を上記のPfaffianと呼ばれる微分作用素を用いて具体的に構成する事に成功した。(Helgasoの結果の一般化)これらは、アメリカ合衆国Tufts大学のGonzalez氏との共同研究によるものである。又、更に、関連するコンパクト対称空間上のラドン変換と、不変微分作用素との関係について調べ、モロッコ共和国で1998年7月に開かれた研究集会「Harmonic Analysis and Integral Geometry」に於いて発表した。