Geometric analysis of convolution operators on symmetric spaces and its applications to integral geometry and inverse problems

对称空间上卷积算子的几何分析及其在积分几何和反问题中的应用

• 批准号: 21K03264
• 负责人: 筧 知之
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03264/
• 关键词: 合成積作用素; 波動方程式; 対称空間; 幾何解析; 逆問題; 積分幾何

現在まで対称空間上の合成積作用素が満たす諸性質を幾何解析的に研究しているが、２０２２年度は波動方程式への応用について研究を行った。波動方程式に関してはコーシー問題としての研究がほとんどであり、それ以外の枠組みでの研究は少ない。本研究では、幾つかの時刻でデータを与え、そのデータを満たす波動方程式の解が存在するか？という問題を扱った。以下、この問題をコーシー問題と区別するためにスナップショット問題と呼ぶことにする。また、各時刻で与えるデータをスナップショットデータと呼ぶことにする。得られた結果は、大雑把に言って、以下の通りである。ユークリッド空間および非コンパクト対称空間上の波動方程式については、スナップショットデータを２つ与える場合では解を決定することは出来ない。時刻T=0, T=a, T=bの３つの時刻でスナップショットデータを与える場合、比a/bが無理数の場合は解の一意性が成立する。一方、スナップショットデータがある両立条件を満たし、かつ,比a/bがある数論的条件を満たすとき、かつ、その時に限り、解が存在する。勿論、それだけではなく、波動方程式の解とスナップショットデータの間の詳しい関係も解明した。更に、コンパクト対称空間上のスナップショット問題も考察し、こちらについても詳しい結果を得た。方法としては、エーレンプレイスによる合成積作用素の理論と我々の研究グループが開発した対称空間上の合成積作用素の結果を組み合わせて行う。以上は、ゴンザレス氏、クリステンセン氏、ワン氏との共同研究によるものであり、共著論文を執筆中である。なお、スナップショット問題に関する先行結果は実質的に存在しない、即ち、我々の研究がスナップショット問題に関する初めての結果であることを注意しておく。

到目前为止，我们一直在研究合成产品运营商在对称空间中通过分析中满足的各种属性，但是在2022年，我们对它们在波动方程中的应用进行了研究。关于波动方程的大多数研究都是作为库奇问题进行的，对其他框架的研究很少。在这项研究中，是否有一些可以在几次获得数据并满足数据的波动方程的解决方案？这个问题已解决。在下文中，该问题将被称为快照问题，以将其与凯奇问题区分开。此外，每次提供的数据将称为快照数据。所获得的结果大致如下：对于欧几里得空间中的波方程和非压缩的对称空间，在提供两个快照数据时无法确定解决方案。当快照数据以三次提供：次t = 0，t = a和t = b，如果比率a/b是不合理的数字，则建立了解决方案的唯一性。另一方面，仅当快照数据满足兼容性条件并且比率A/B符合数值理论条件时，该解决方案才存在。当然，不仅如此，还阐明了波动方程的解决方案与快照数据之间的详细关系。此外，我们还检查了紧凑型对称空间上的快照问题，并在此问题上获得了详细的结果。该方法是将Ehren位置的合成产品运营商的理论与我们研究小组开发的对称空间中的合成产品运营商的结果相结合。以上是基于与冈萨雷斯，克里斯滕森和王的联合研究，目前正在撰写共同作品的论文。应该注意的是，快照问题实际上没有任何结果，即我们的研究是第一个了解快照问题的研究。

项目成果

Surjectivity of convolution operators

卷积算子的满射性

• 发表时间: 2022
• 作者: Kanehisa Takasaki;Tomoyuki Kakehi
• 通讯作者: Tomoyuki Kakehi

タフツ大学/コルゲート大学(米国)

塔夫茨大学/科尔盖特大学（美国）