ホッヂ構造の退化の研究

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コンパクトケーラー複素多様体の族から得られるホッヂ構造の変動は、多様体の退化に対応して、それ自身、混合ホッヂ構造へと退化する。本研究では、パラメータ空間が2次元以上の(適切な条件をみたす)退化について詳しく調べた。パラメータ空間が2次元以上である事から、多様体あるいはホッヂ構造の退化には多くのとり得る「方向」がある。これらの「方向」に対応して定まる「ウエイト・スペクトル列」がE_2-項で退化する事、およびこのスペクトル列のE_1-項を退化した多様体のコホモロジー群として明示的に書き表わすことに成功したので、これらの結果を現在投稿中の論文"Degeneration of weight spectral sequences"にまとめた。さらに、これらの「方向」に対応して定まる、混合ホッヂ構造上の「ウエイト・フィルトレーション」によってこの混合ホッヂ構造が、いわゆる「フィルター付」混合ホッヂ構造になる事、および「局所不変サイクル定理」をパラメータ空間が高次元の場合に定式化し証明することができた。さらに、上記の混合ホッヂ構造が、シュミットや、カタニ・カプランらによって超越的方法によって得られた混合ホッヂ構造に一致する事も示された。現在論文を執筆中である。一方、対数構造の理論に関連して、スティーンブリンクの意味での「log deformation」上に上記混合ホッヂ構造の類似物を構成し、それからl-進「ウエイト・スペクトル列」のE_2-退化に関するホッヂ理論的別証明を与える事に関する東京工業大学の中山能力氏との共同研究の結果を論文"Mixed Hodge structures on log deformations"にまとめた。この論文も現在投稿中である。