Mixed Hodge theory on non-reduced log smooth degenerations

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2021年度に引き続き、今年度も「完全（exact）」の仮定の下で彼約でない対数的スムース退化について研究を進めた。2021年度には、彼約でない完全な対数的スムース退化の相対対数的ドラーム複体について、以前の研究をさらに深めることができた。そこで今年度は、2021年度に引き続き、上記の結果に基づいて相対対数的ドラームコホモロジー群上に混合ホッジ構造を構成することを目指して研究を行なった。本研究の基本的な方針は、彼約でない対数的スムース退化の相対対数的ドラームコホモロジー群とその彼約化の相対対数的ドラームコホモロジー群を比較する、というものであったが、想定していた以上に、この比較が困難であったため、結局、混合ホッジ構造の構成に成功するには至らなかった。一方、彼約でない対数的スムース退化に完全という仮定を付けた場合、セミステイブルな対数的スムース退化との違いは、対数的スムース退化の既約成分が重複度を持つことでる。（本報告では便宜上、このような対象を弱セミステイブルな対数的スムース退化と呼ぶことにする。）藤野修京都大学教授との共同研究の中で、スティーンブリンクによる過去の研究（Mixed Hodge structure on the vanishing cohomology, 1976）を精査する必要が生じたが、それを行なう過程で、弱セミステイブルな対数的スムース退化を調べる場合にも、基底変換によってセミステイブルな場合に帰着することが有効ではないかという示唆を得た。この共同研究における対数幾何に関連した部分を、藤野氏との共著論文の一部分としてまとめたが、これは、今後本研究を進める上での手掛かりの一つと位置付けられる結果であると考えられる。