ホッヂ構造の退化の研究 -退化した多様体の幾何との関連-

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コンパクトケーラー複素多様体の族から得られるホッヂ構造の変動は、多様体の退化に対応して、それ自身、混合ホッヂ構造へと退化する。本研究では、パラメータ空間が2次元以上の(適切な条件をみたす)退化について、多様体の退化の幾何との関連を念頭に置いた上で詳しく調べた。パラメータ空間が2次元以上である事から、多様体あるいはホッヂ構造の退化には多くのとり得る「方向」がある。これらの「方向」に対応して定まる、混合ホッヂ構造上の「ウエイト・フィルトレーション」によって、この混合ホッヂ構造が、いわゆる「フィルター付」混合ホッヂ構造になる事、および「局所不変サイクル定理」をパラメータ空間が高次元の場合に定式化し証明することができた。さらに、上記の混合ホッヂ構造が、シュミットや、カタニ・カプランらによって超越的方法によって得られた混合ホッヂ構造に一致する事も示されたので、これらの結果を論文"Limits of Hodge structures in several variables II"として執筆中である。さらに、多様体の退化の幾何の代数的な表現として、一般ファイバーのコホモロジー群と特異ファイバーのコホモロジー群とを結び付ける「クレメンス・シュミット完全列」の高次元化を定式化し証明することを目標として、D-加群の理論を含めたホッヂ加群の理論や、perverse層の理論、及び、最近活発に研究され始めた、対数的ホッヂ構造の変動の理論との比較検討を行った。