特異摂動の非線型微分方程式に対する代数解析

奇异扰动非线性微分方程的代数分析

• 批准号: 11740087
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740087/
• 关键词: 完全WKB解析; 完全最急降下路; 鞍点; Stokes曲線; Landau-Zener; 3-level; Painleve方程式; WKB解析; 積分表示; 最急降下路; インスタントン解

昨年度に続き、主に線型方程式のStokes曲線の大域構造の解明と、その具体的問題への応用について研究を行った。まず、前年度に得られた完全WKB解析に関する新しい知見、即ち「線型方程式のWKB解がStokes現象を起こすのは、独立変数に関してフーリエ変換した方程式の(通常の最急降下路を分岐させて得られる)"完全最急降下路"が2つの鞍点を結ぶ時に限る」の数学的に厳密な扱いに取り組み、フーリエ変換像が2階という簡単な場合について、(WKB解のBorel和に関する)既知の接続公式を利用した厳密証明を得ることが出来た(J.Math.Phys.に近刊予定)。更に、この"完全最急降下法"は、完全WKB解析との関連という枠組を超えて、不確定特異点における漸近解の間のStokes現象をはじめとした解の大域的な接続問題を直接的に解く一つの有力な方法であることも明らかになった(現在、論文を準備中)。これらの成果により、高階線型方程式に固有の「Stokes曲線の交叉」等の問題に対する理解が随分深まったと考えられる。以上の進展を踏まえ、(本来の研究課題からは少々はずれたテーマではあるが)エネルギーレベルの交差に伴う遷移確率の計算という物理的な問題に完全WKB解析を応用することを試み、古典的なLandau-Zenerの結果を3-levelの場合に拡張することに成功した。他方、非線型方程式については、Painleve II型方程式の接続問題の完全WKB解析的な取り扱いに関してこれまでに得られていた結果をまとめる(ANZIAM J.Aust.Math.Soc.に近刊予定)と同時に、その一般化を得るべく、高階のPainleve方程式に対応するモノドロミー保存変形のヒエラルキーについて、Joshi氏(豪)と議論を行った。具体的な成果を得るのは今後の課題であるが、一般化の可能性についてかなりの好感触が得られたように思う。

去年之后，我们对Stokes曲线的全球结构（主要是线性方程式及其在具体问题上的应用）进行了研究。首先，我们研究了上一年获得的完整WKB分析的新发现，即，“线性方程的WKB解决方案仅当“完全陡峭的道路”（通过分支正常的陡峭路径获得（通过分支最陡峭的路径获得）（通过独立变量连接两个鞍座的形式）（我们已经可以实现了一个围绕一个ac noct of a n of n of n of n of n of n of the n of n of the n of the of abb），才导致stokes现象（通过分支最陡峭的方程式获得）。 （对于WKB解决方案）对于傅立叶变换图像为二阶的简单情况。此外，已经揭示了这种“完全陡峭的下降”是一种直接解决解决方案的全球连接问题的强大方法，包括不确定的奇异性渐近解决方案之间的Stokes现象，除了与完整WKB分析的关系框架之外（目前正在为论文做准备）。这些结果可能加深了我们对高阶线性方程固有的“ Stokes曲线交叉”等问题的理解。考虑到这些发展，我们试图将完整的WKB分析应用于计算与能级交叉点相关的过渡概率的物理问题（尽管这与原始研究主题相比有些偏离），并成功地将经典的Landau-Zener结果扩展到了3级案例。另一方面，关于非线性方程式，我们总结了先前获得的有关Painleve II型方程式问题的完整分析处理的结果（待发表在Anziam J.Aust.Math.soc中），为了获得概括，我们与Joshi（Auto）进行了讨论。在将来获得具体的结果是一个挑战，但我认为我们已经获得了有关概括的可能性的相当积极的反馈。

项目成果

T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "On a complete description of the Stokes geometry for higher order ordinary differential equations with a large parameter via integral representations"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or

T.Aoki、T.Kawai 和 Y.Takei：“通过积分表示对具有大参数的高阶常微分方程的斯托克斯几何进行完整的描述”Conf.Proc。“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性

T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "On the exact steepest descent method-a new method for the description of Stokes curves(RIMS preprint No.1295(2000))"to appear in J.Math.Phys..

T.Aoki、T.Kawai 和 Y.Takei：“论精确最速下降法——描述斯托克斯曲线的新方法（RIMS 预印本 No.1295（2000））”出现在 J.Math.Phys..

T.Aoki,T.kawai and Y.Takei: "Can we find a new deformation of(SL_J) with respect to the parameters contained in (P_J)?"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or Non-Linear". 205-208 (2000)

T.Aoki、T.kawai 和 Y.Takei：“我们能否找到 (SL_J) 相对于 (P_J) 中包含的参数的新变形？”Conf.Proc.“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性

Y.Takei: "An explicit description of the connection formula for the first Painleve equation"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or Non-Linear". 271-296 (2000)

Y.Takei：“第一个 Painleve 方程的连接公式的显式描述”Conf.Proc.“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性或非线性”。

竹井 義次: "Painleve方程式の初期値空間とWKB解析"数理解析研究所講究録. 1133. 104-116 (2000)

Yoshitsugu Takei：“Painleve 方程的初值空间和 WKB 分析”数学分析研究所的 Kokyuroku 1133. 104-116 (2000)。