特異摂動の非線型微分方程式に対する代数解析

奇异扰动非线性微分方程的代数分析

• 批准号: 11740087
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740087/
• 关键词: 完全WKB解析; 完全最急降下路; 鞍点; Stokes曲線; Landau-Zener; 3-level; Painleve方程式; WKB解析; 積分表示; 最急降下路; インスタントン解

昨年度に続き、主に線型方程式のStokes曲線の大域構造の解明と、その具体的問題への応用について研究を行った。まず、前年度に得られた完全WKB解析に関する新しい知見、即ち「線型方程式のWKB解がStokes現象を起こすのは、独立変数に関してフーリエ変換した方程式の(通常の最急降下路を分岐させて得られる)"完全最急降下路"が2つの鞍点を結ぶ時に限る」の数学的に厳密な扱いに取り組み、フーリエ変換像が2階という簡単な場合について、(WKB解のBorel和に関する)既知の接続公式を利用した厳密証明を得ることが出来た(J.Math.Phys.に近刊予定)。更に、この"完全最急降下法"は、完全WKB解析との関連という枠組を超えて、不確定特異点における漸近解の間のStokes現象をはじめとした解の大域的な接続問題を直接的に解く一つの有力な方法であることも明らかになった(現在、論文を準備中)。これらの成果により、高階線型方程式に固有の「Stokes曲線の交叉」等の問題に対する理解が随分深まったと考えられる。以上の進展を踏まえ、(本来の研究課題からは少々はずれたテーマではあるが)エネルギーレベルの交差に伴う遷移確率の計算という物理的な問題に完全WKB解析を応用することを試み、古典的なLandau-Zenerの結果を3-levelの場合に拡張することに成功した。他方、非線型方程式については、Painleve II型方程式の接続問題の完全WKB解析的な取り扱いに関してこれまでに得られていた結果をまとめる(ANZIAM J.Aust.Math.Soc.に近刊予定)と同時に、その一般化を得るべく、高階のPainleve方程式に対応するモノドロミー保存変形のヒエラルキーについて、Joshi氏(豪)と議論を行った。具体的な成果を得るのは今後の課題であるが、一般化の可能性についてかなりの好感触が得られたように思う。

Last year, the main linear equations and Stokes curves of the global structure of the solution, and the specific problems of the application of the study. In the previous year, the WKB solution was completely solved, and the Stokes phenomenon occurred.(Usually the steepest descent path is divided into two parts, and the result is obtained.)"Complete steepest descent path" is obtained by using the steepest proof.(J. Math.Phys.) In addition, this "complete steepest descent method" is a direct solution to the problem of large domain connection with complete WKB analysis and correlation (now, paper preparation). The results of this paper are discussed in detail, and the problems inherent in the higher-order linear equations, such as the intersection of Stokes curves, are discussed in detail. The above progress has been made successfully in the case of complete WKB analysis and application of classical Landau-Zener. The complete WKB solution of the connection problem of the Painleve type II equation is obtained by solving the non-linear equation of the other type.(ANZIAM J. Aust.Math.Soc.) At the same time, the generalization of the Painleve equation of the higher order is obtained by solving the non-linear equation of the Painleve type II equation. Specific results are obtained and future problems are discussed. Generalization is possible. Good feelings are obtained and thought.

项目成果

T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "On a complete description of the Stokes geometry for higher order ordinary differential equations with a large parameter via integral representations"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or

T.Aoki、T.Kawai 和 Y.Takei：“通过积分表示对具有大参数的高阶常微分方程的斯托克斯几何进行完整的描述”Conf.Proc。“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性

T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "On the exact steepest descent method-a new method for the description of Stokes curves(RIMS preprint No.1295(2000))"to appear in J.Math.Phys..

T.Aoki、T.Kawai 和 Y.Takei：“论精确最速下降法——描述斯托克斯曲线的新方法（RIMS 预印本 No.1295（2000））”出现在 J.Math.Phys..

T.Aoki,T.kawai and Y.Takei: "Can we find a new deformation of(SL_J) with respect to the parameters contained in (P_J)?"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or Non-Linear". 205-208 (2000)

T.Aoki、T.kawai 和 Y.Takei：“我们能否找到 (SL_J) 相对于 (P_J) 中包含的参数的新变形？”Conf.Proc.“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性

Y.Takei: "An explicit description of the connection formula for the first Painleve equation"Conf.Proc."Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or Non-Linear". 271-296 (2000)

Y.Takei：“第一个 Painleve 方程的连接公式的显式描述”Conf.Proc.“走向微分方程的精确 WKB 分析，线性或非线性”。

Y.Takei: "On an exact WKB approach to Ablowitz-Segur's connection problem for the second Painleve equation (RIMS preprint No.1291(2000))"to appear in ANZIAM J.Australian Math.Soc..

Y.Takei：“关于第二个 Painleve 方程的 Ablowitz-Segur 连接问题的精确 WKB 方法（RIMS 预印本 No.1291(2000)）”出现在 ANZIAM J.Australian Math.Soc. 中。